20、分治法相关算法解析

分治法相关算法解析

1. 寻找第 k 小元素

1.1 算法概述

在一个未排序的数组中寻找第 k 小的元素是一个常见的问题，有多种算法可以解决这个问题。

1.2 特定算法步骤

有一种算法的步骤如下：
1. 将数组分成 n/5 个大小为 5 的部分，并找出每个部分的中位数。
2. 递归地找出这些中位数的真正中位数，记为 m。
3. 使用 m 作为枢轴，将数组分成子数组 LESS 和 GREATER。
4. 在合适的子数组中递归查找。

1.3 示例应用

对于数组 [12, 13, 0, −3, 15, 43, 57, 31, 47, 20, 1, −5, 42, 14, 15, 8, 100, 32, 85, 41] ，可以按照上述步骤进行操作。

1.4 时间复杂度分析

该算法在寻找大小为 n 的数组中的第 k 小元素时，进行的比较次数为 O(n)。设 T(n) 是寻找大小为 n 的数组中第 k 小元素的最大比较次数，则有：
[T (n) ≤cn + T (n/5) + T (7n/10)]

1.5 其他相关结论

• 证明了寻找第 k 小元素的下界为 (n + (k - 1)\log\frac{n}{k - 1}-k)（n > 1）。
• 可以证明找到 n 个元素中第二大元素所需的比较次数为 (n + \lceil\log n\rceil - 2)。

2. 最大公约数（gcd）