81、算子类 (E,F) 的矩阵类求和域描述

算子类 (E,F) 的矩阵类求和域描述

1. 引言

算子类 (E,F) 的求和域是泛函分析中一个重要的概念，尤其是在研究无穷矩阵的算子变换时。求和域描述了哪些序列可以通过给定的算子矩阵求和，并且这些求和结果的性质是什么。本文将深入探讨算子类 (E,F) 的求和域，重点在于其特性、定理与证明，以及具体应用。

2. 定义与背景

2.1 基本定义

设 ( E ) 和 ( F ) 分别是巴拿赫空间 ( X ) 和 ( Y ) 的序列空间。算子类 ( (E,F) ) 表示所有从 ( E ) 到 ( F ) 的矩阵类，即所有将 ( E ) 中的序列映射到 ( F ) 中的序列的矩阵。对于一个矩阵 ( A = (A_{nk}) )，其中 ( A_{nk} ) 是从 ( X ) 到 ( Y ) 的有界线性算子，我们定义 ( A ) 的求和域 ( (A) ) 为：

[ (A) = \left{ x = (x_k) \in E : \sum_{k=1}^\infty A_{nk} x_k \text{ 在 } Y \text{ 中收敛} \right} ]

换句话说，求和域 ( (A) ) 包含了所有可以通过矩阵 ( A ) 求和的序列 ( x )。

2.2 背景知识回顾

在之前的章节中，我们介绍了广义 K~the-托普利茨对偶、矩阵类的特征、陶伯定理等概念。这些概念为理解求和域提供了坚实的基础。例如，广义 K~the-托普利茨对偶帮助我们理解了算子矩阵的对偶空间，而陶伯定理则揭示了求和方法的条件和限制。

3. 求和域的特性

3.1 求和域的封