84、算子类 (E,F) 的矩阵类必要且充分条件描述

算子类 (E,F) 的矩阵类必要且充分条件描述

1. 矩阵类 (E,F) 的必要条件

在研究算子类 (E,F) 的矩阵类必要条件时，我们需要明确这些条件是矩阵属于 (E,F) 类的前提。这意味着如果一个矩阵不满足这些条件，它就不可能属于 (E,F) 类。以下是几个重要的必要条件：

1.1 矩阵的收敛性

矩阵 ( A ) 属于 (E,F) 类的必要条件之一是它必须在某些特定条件下收敛。具体来说，对于每个 ( n ) 和每个 ( x \in E )，矩阵 ( A ) 必须满足：

[ \sum_{k=1}^{\infty} A_{nk}x_k ]

在 ( F ) 的范数中收敛。这意味着对于每个 ( n )，( A_n(x) ) 必须在 ( F ) 中收敛。

1.2 矩阵的有界性

另一个必要条件是矩阵 ( A ) 必须是有界的。即对于每个 ( n ) 和每个 ( x \in E )，存在一个常数 ( M )，使得：

[ |A_n(x)|_F \leq M |x|_E ]

这确保了矩阵 ( A ) 不会将 ( E ) 中的有界序列映射到 ( F ) 中的无界序列。

1.3 矩阵的线性性质

矩阵 ( A ) 必须是线性的，即对于任意 ( x, y \in E ) 和任意 ( \alpha, \beta \in \mathbb{C} )，有：

[ A(\alpha x + \beta y) = \alpha A(x) + \beta A(y) ]

这确保了矩阵 ( A ) 作为一个线性