16、交流电路分析：原理、方法与应用

交流电路分析：原理、方法与应用

1. 复数在交流电路中的应用

1.1 欧拉恒等式与复数表示

欧拉恒等式 (e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta) 为交流电路的分析提供了有力工具。通过它，我们可以将复数 (z) 表示为 (z = |z|e^{j\theta})。利用这种表示法，复数的乘法和除法变得十分直接：
- (z_1z_2 = |z_1||z_2|e^{j(\theta_1 + \theta_2)})
- (\frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|}e^{j(\theta_1 - \theta_2)})

例如，若 (z_1 = 1 + 2j)，(z_2 = 1 + j)，则 (|z_1| = \sqrt{5})，(|z_2| = \sqrt{2})，(\theta_1 = 0.35\pi)，(\theta_2 = 0.25\pi)，那么 (\frac{z_1}{z_2} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}e^{0.32j})，这里的相位始终用弧度表示。

1.2 电抗的重新定义

在包含电感、电阻和电容的交流电路中，电压和电流的幅值和相位各不相同，跟踪这些参数是一项挑战。一种解决方法是使用复数，将电阻和电抗（统称为阻抗）定义为复数。

通常，电路的输入电压形式为 (V(t) = V_0\cos(\omega t))，它是 (V = V_0e^{j\omega t}) 的实部。我们可以先假设输入电压为 (V = V_0e^{j\omega t}) 进行代数运算，最后再转换回实部。

对于电容