【C语言】求取第n个斐波那契数的时间复杂度、空间复杂度分析，用三种方式实现（普通递归，循环，优化递归）

斐波那契数列

【含义】：

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

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用C求取第n个斐波那契数

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【时间复杂度】：递归总次数*每次递归的次数

【空间复杂度】：递归的深度*每次递归空间的大小

【递归深度】：树的高度（递归的过程是一个”二叉树”）

【一般算法O(n)计算方法】：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项系数存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

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【普通递归实现】：

#include<stdio.h>
#include<Windows.h>

long long fib(long long n){
    if(n < 3)
        return 1;
    return fib(n-1)+fib(n-2);
}

int main(){
    long long n = 0;
    scanf("%llu",&n);
    printf("%llu\n",fib(n));
    system("pause");
    return 0;
}

【时间复杂度】：O(2^n)

【空间复杂度】：O(n)

【缺陷】：重复计算次数太多，效率低下。

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【循环】：

#include<stdio.h>
#include<Windows.h>

long long fib(long long n){
    int i = 0;
    long long first = 1,second = 1;
    long long ret = 0;
    for(i=3;i<=n;++i){
        ret = first + second;
        first = second;
        second = ret;
    }
    return second;
}

int main(){
    long long n = 0;
    scanf("%llu",&n);
    printf("%llu\n",fib(n));
    system("pause");
    return 0;
}

【时间复杂度】：O(n)
【空间复杂度】：O(1)

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【升级版递归】：

#include<stdio.h>
#include<Windows.h>

long long fib(long long first,long long second,long long n){
    if(n < 3)
        return 1;
    if(n == 3)
        return first + second;
    return fib(second,first+second,n-1);
}

int main(){
    long long n = 0;
    scanf("%llu",&n);
    printf("%llu\n",fib(1,1,n));
    system("pause");
    return 0;
}

【分析】：

本算法采用了尾递归的算法；

【时间复杂度】：O(n)

【空间复杂度】：O(n) （在VS debug环境下，其他环境有可能会进行编译器优化）

【注意】：尾递归有时候在特定环境下会产生编译器优化，即不会再为尾递归函数调用下一级函数时开辟新栈，而是直接在旧函数的内存块上进行修改），这时它的空间复杂度为O(1)。