斐波那契数列的迭代算法和递归算法

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#算法 #b树 #leetcode #数据结构 #大数据

于 2022-07-22 16:49:34 首次发布

斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称“黄金分割数列“，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从 1963 年起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

在这里插入图片描述

黄金分割数列

黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。

在这里插入图片描述

把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割。其比值是，近似值为0.618，通常用希腊字母Ф表示这个值。

附：黄金分割数前面的32位为：0.6180339887 4989484820 458683436564

设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上，且AC为b，则b与a的比叫作黄金比
在这里插入图片描述
有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近 0.618）。

兔子数列

斐波那契数列又因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

经典问题：

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死：

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

两个月后，生下一对小兔对数共有两对

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
在这里插入图片描述
幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前

面相邻两项之和，构成了后一项。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的，这个级数的通项公式，除了具有

a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^{n-[(1-√5)/2]}n（n=1,2,3,…）


/**
 * 兔子问题
 * 斐波那契数列求值
 * @author tonylp
 *题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，
 *小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
 *1.程序分析： 兔子的规律为数列1,1,2,3,5,8,13,21....
 */
public class rabbit {
   
   
    public static final int MONTH = 15;
    public static void main(String[] args) {
   
   
        long f1 = 1L, f2 = 1L;
        long f;
        for(int i=3;i<MONTH;i++){
   
   
            f=f1+f2;
            f1=f2;
            f2=f;
            System.out.println("第"+i