69、面部表情与动作的黎曼和仿射几何及生物医学应用

面部表情与动作的黎曼和仿射几何及生物医学应用

1. 面部表情与动作的几何分析

在面部表情和动作分析中，我们可以通过特定的矩阵运算来构建仿射不变的表示。给定矩阵运算：
[
\begin{pmatrix}
x_4 & y_4 & z_4 \
\vdots & \vdots & \vdots \
x_n & y_n & z_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 & y_1 & z_1 \
x_2 & y_2 & z_2 \
x_3 & y_3 & z_3
\end{pmatrix}^{-1}
]
这个运算的结果与所选的基无关。通过这种方式，与(W)横截的三维子空间的开稠密子集与(\mathbb{R}^{(n - 3) \times 3})建立了一一对应关系。

考虑矩阵(M(t))：
[
M(t) :=
\begin{pmatrix}
x_1(t) & y_1(t) & 1 \
\vdots & \vdots & \vdots \
x_n(t) & y_n(t) & 1
\end{pmatrix}
]
若地标点(Z_1(t) = (x_1(t), y_1(t)))，(Z_2(t) = (x_2(t), y_2(t)))和(Z_3(t) = (x_3(t), y_3(t)))在整个运动过程中构成非退化三角形，那么将该曲