19、流体 - 结构相互作用的变分方法

流体 - 结构相互作用的变分方法

1. 引言

带有柔性壁且输送流体的管子在自然界中很常见，由于流体与弹性壁之间的相互作用，其表现出复杂的行为。在生理应用中，如动脉中的血液流动，就自然地出现了重要的例子。在这个领域已经有大量的研究，尤其是聚焦于动脉血流和肺部血流。

分析这类流动的研究通常局限于管子中心线是直线的情况，这限制了模型在实际应用中的实用性，但对于理论理解很重要。虽然到目前为止在流动分析方面已经取得了实质性进展，但很难用解析方法描述管子三维变形的一般动力学。

另一方面，涉及中心线非平凡动力学的研究在工程应用中有着悠久的历史，也就是所谓的“花园软管不稳定性”。Benjamin可能是第一个为初始为直线的管子的二维动力学制定定量理论的人，他通过考虑输送流体的管子链，并使用考虑了离开管子的射流动量的增强哈密顿临界作用原理，然后将离散系统的极限导出线性扰动的连续方程。

初始的这些发展为有限的、初始为直线的管子的进一步稳定性分析奠定了基础，这些分析与实验观察到的不稳定性的起始情况有合理的一致性。也有模型考虑了中心线的非线性偏转以及流动流体中的可压缩（声学）效应。不过，之前的一些方法难以轻松纳入横截面变化对动力学的影响。

2. 变分方法的预备知识

变分数值方案（也称为变分积分器）是强大的离散化方法，因为它们允许精确守恒适当定义的动量，并具有出色的长期能量行为，因此在摩擦效应较小时，对于构建长期动力学的有效描述非常有用。在处理流体 - 结构相互作用问题时，需要解决两个主要困难，即流体与弹性管的适当耦合以及流体体积守恒约束的处理。

2.1 哈密顿原理

经典力学中最基本的陈述之一是临界作