传输线阻抗方程的推导

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在传输线理论中，当一段特征阻抗为 $Z_0$ 的传输线的终端连接了一个阻抗为 $Z_L$ 的负载时，看向这段传输线的输入阻抗 $Z_{in}$ 将不再是 $Z_0$ 。
在这里插入图片描述

传输线阻抗方程 (Transmission Line Impedance Equation) 就是计算此时传输线的输入阻抗 $Z_{in}$ 的公式，它是RF系统中求解阻抗匹配问题的一个重要公式。在进行详细推导之前，我们首先给出传输线阻抗方程的最终形式：
$Z_{in}=Z_0\cdot\frac{Z_L+Z_0{\rm tan}βl}{Z_0+Z_L{\rm tan}βl}\tag{1}$
其中， $β = 2 π / λ$ ， $λ$ 为在传输线上传播的信号波长， $l$ 为传输线的长度。

现在对传输线阻抗方程进行推导。
在这里插入图片描述

假设一个正弦信号 $V_0^+e^{-jβz}$ 从 $z < 0$ 入射到这个由传输线和负载构成的RF系统中。当信号在传输线上传播时，信号的幅值为 $V (z)$ ，传输线上相应的电流为 $I (z)$ ，它们的比值即为传输线的特征阻抗 $Z_0$ ；而当信号到达负载时，信号幅值和电流的比值则为负载阻抗 $Z_L$ ，此时 $z = 0$ 处的阻抗就产生了不连续性。

为了让 $z = 0$ 处负载的条件得到满足，传输线上必定产生一个反射信号，这也就是我们常说的阻抗不匹配导致的信号反射。那么，结合入射信号和反射信号，传输线上任意一点上，传播的电压信号幅值就表示为：
$V(z)=V_0^+e^{-jβz}+V_0^-e^{+jβz}\tag{2}$
式(2)等号右边第一项为入射信号，第二项为反射信号。传输线上相应产生的电流为：
$I(z)=\frac{V_0^+}{Z_0}e^{-jβz}-\frac{V_0^-}{Z_0}e^{+jβz}\tag{3}$
留意式(3)等号右边第二项的符号为负，其详细推导过程请查阅教材《微波工程》第二章。

在 $z = 0$ 处，有：
$Z_L=\frac{V(0)}{I(0)}=\frac{V_0^++V_0^-}{V_0^+-V_0^-}Z_0\tag{4}$
移项可得：
$V_0^-=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}V_0^+\tag{5}$
定义反射系数 $Γ$ 为 $z = 0$ 处的反射信号幅值与入射信号幅值之比：
$Γ=\frac{V_0^-}{V_0^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}\tag{6}$
那么，在传输线上任意一点，电压信号幅值和电流可以表示为：
$V(z)=V_0^+(e^{-jβz}+Γe^{+jβz})\tag{7a}$

$I(z)=\frac{V_0^+}{Z_0}(e^{-jβz}-Γe^{+jβz})\tag{7b}$

那么，从距离阻抗 $l = - z$ 处看向此RF系统时感受到的输入阻抗 $Z_{in}$ 可表示为：
$Z_{in}=\frac{V(-l)}{I(-l)}=\frac{V_0^+(e^{-jβz}+Γe^{+jβz})}{V_0^+(e^{-jβz}-Γe^{+jβz})}Z_0=\frac{1+Γe^{-2jβl}}{1-Γe^{-2jβl}}Z_0\tag{8}$
将式(6)带入式(8)，可得：
$Z_{in}= Z_0\frac{(Z_L+Z_0)e^{+jβl}+(Z_L-Z_0)e^{-jβl}}{(Z_L+Z_0)e^{+jβl}-(Z_L-Z_0)e^{-jβl}}\tag{9}$
化简可得：
$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L{\rm cos}βl+jZ_0{\rm sin}βl}{Z_0{\rm cos}βl+jZ_L{\rm sin}βl}\tag{10}$
最终，有：
$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0{\rm tan}βl}{Z_0+jZ_L{\rm tan}βl}\tag{11}$
式(11)即为传输线阻抗方程。