非对称晶格表面的相变研究

非对称侯西达晶格锯齿状表面上反铁磁伊辛自旋的相变

1. 引言

递归格子自贝特[1]和伏见[2]提出以来，已成为统计物理中数十年来的经典方法。由于其递归结构所具有的精确计算和简单表述的显著优势，许多统计或物理问题都可以通过这种建模方法寻求一种替代但可靠的解，例如旅行商问题[3], 、K‐可满足性 [4], 、玻璃化转变[5]等。对于大多数情况，特别是涉及复杂结构时，在方格子上求解任意模型是不可能的，因此人们不得不寻找近似解。通常，人们尝试在平均场近似下求解该模型，而古吉拉特 [6]指出，递归格点解比平均场解更可靠，特别是对于反铁磁模型。

另一方面，这种格点的递归特性意味着系统本质上是均匀的，适合描述体系统。我们小组已经使用贝特格点研究了表面附近的非均匀结构[7–9]。在这里，我们扩展到一/二维混合递归格点，以研究表面/界面伊辛模型的相变，这仍然基于一种对称结构[10]。

在本研究中，我们构建了一个具有一维表面的非对称二维递归格子。通过对角切割规则方格子的类比进行分形化，可以获得一个在锯齿状表面上悬挂部分久志米树的简单模型。由于该锯齿状结构是无限且均匀的，可通过递归计算[11,12],处理，并将部分久志米树近似为恒定统计贡献（此方法源于之前的经典工作），因此该模型的精确计算似乎是可行的，类似于其他类贝特模型。我们已在该格子上求解了反铁磁伊辛模型，并能够在+1自旋系统中确定一级相变和考兹曼悖论。

2. 晶格与模型

通常情况下，二维方格子的表面就是包围体相的一维线，其配位数较低，为3。设想我们沿方格对角线对该格子进行切割，可以在半个体相上产生一个锯齿状表面，该格子的基本单元在体相中为方形，在表面上为三角形。每个三角单元被两个相同的三角形和一个体相方形所包围，因此可以用三角单元的直线连接来表示该表面。这种三角链是无限的，并具有计算所需的递归特性。考虑到体相部分仅仅是悬挂在锯齿线上的一些结构，因此可以在每个三角形上连接一个无限的部分伏见树来代表体相部分。将半分结构分形化为递归格子的方案如图1所示。

由于这种之字形表面递归格点（ZSRL）在体相内部具有四重配位，而在表面为交替二或四（平均三）配位，我们希望它能很好地近似具有对角边界的规则方格子。位点标记如图2所示：表面三角形上的顶点标记为S和S0,，其中S0表示沿递归计算方向更靠近表面上假想原点的格点。注意一个三角形中的S0是下一级单元中的S，而原点标记为第0级。连接表面三角形与体相树的基底格点标记为SB。

对应于邻近相互作用J的表示法，表面单元上的对角相互作用JP和三自旋相互作用（三元组）J0,，我们用每个项上方加一横线的方式来区分它们与体部参数的不同。因此，在一个三角形单元a的哈密顿量中，存在两个邻近相互作用 J，一个对角相互作用 JP和一个三元组相互作用（0J）。

$$
e_a = -J(SB \cdot S + SB \cdot S’) - J_P S \cdot S’ - J_0 SB \cdot S \cdot S’ - H(S + SB),
\quad (2.1)
$$

其中H是施加在每个自旋上的磁场。注意格点S0的H不包含在最后一项中，因为它将在下一级单元中被计入。在方程(2.1)中，若 J为负值，则会使相邻自旋处于不同状态时的能量最低值升高，此时系统为反铁磁情况；反之亦然。能量参数的具体影响将在§4.2中讨论。

3. 计算

3.1. 表面解

在侯赛米方格子上伊辛模型的一般计算可在先前的研究[6,13]中找到。此处我们采用类似的偏配分函数(PPF)方法来获得解 x，该解表示表面格点上一个格点被+自旋占据的概率。三角单元具有$2^3 = 8$种可能构型，其中四种构型的基底格点为S0 = +1，其余构型的基底格点为

S0 = -1。我们可以从更高m + 1层的PPF、体相ZB(SB)的贡献以及局部权重w(G)推导出m层上三角形的两个PPF。

$$
Z_m(+) = \sum_{G=1}^{4} Z_{m+1}(S_{m+1}) Z_B(S_B) w(G)
\quad (3.1)
$$

and

$$
Z_m(-) = \sum_{G=5}^{4} Z_{m+1}(S_{m+1}) Z_B(S_B) w(G),
\quad (3.2)
$$

其中 G 是构型的索引。注意，在原点格点 S0 处整个系统的总配分函数(PF) 为

$$
Z_0 = Z_0(+) \cdot 2 e^{-\beta H} + Z_0(-) \cdot 2 e^{\beta H} :
\quad (3:3)
$$

这种关系在我们从PPF推导热力学量（例如自由能）时是基础性的。我们引入比值

$$
\bar{x}_m = \frac{Z_m(+)}{Z_m(+) + Z_m(-)} \quad \text{and} \quad \bar{y}_m = \frac{Z_m(-)}{Z_m(+) + Z_m(-)}
\quad (3:4)
$$

作为m层表面上的解。通过表示

$$
\bar{z}_m(S_m) =
\begin{cases}
\bar{x}_m & \text{if } S_m = +1 \
\bar{y}_m & \text{if } S_m = -1,
\end{cases}
\quad (3:5)
$$

我们有 $Z_m(+) = B_m \bar{x}_m$ 和 $Z_m(-) = B_m \bar{y}_m$，其中 $B_m = Z_m(+) + Z_m(-)$，然后根据方程(3.1)和(3.2)，我们得到

$$
\bar{z} m(S_m) = \frac{B {m+1} B_B}{B_m} \sum_G \bar{z} {m+1}(S {m+1}) z_B(S_B) w(G):
\quad (3:6)
$$

通过引入一组多项式

$$
Q_m^+(\bar{x} {m+1}, x_B) = \sum {G=1}^{4} \bar{z} {m+1}(S {m+1}) z_B(S_B) w(G),
$$

$$
Q_m^-(\bar{y} {m+1}, y_B) = \sum {G=5}^{4} \bar{z} {m+1}(S {m+1}) z_B(S_B) w(G)
$$

and

$$
Q_m(\bar{x} {m+1}, x_B) = Q_m^+(\bar{x} {m+1}, x_B) + Q_m^-(\bar{y} {m+1}, y_B) = \frac{B_m}{B {m+1} B_B},
\quad (3:7)
$$

我们可以推导出第m级的解 $\bar{x} m$，其为上级浓度比 $\bar{x} {m+1}$ 和体相解 $x_B$ 的函数。

$$
\bar{x} m = \frac{Q_m^+(\bar{x} {m+1}, x_B)}{Q_m(\bar{x}_{m+1}, x_B)} :
\quad (3:8)
$$

将xB视为表面三角形与体相方形之间连接位点上的解，假设我们从体相深处开始进行递归计算，然后逐步接近表面的热力学贡献，因此xB就是侯世达晶格的不动点解。通过这种方法，我们可以将无限体相树的贡献视为常数输入，并专注于沿表面{x3}x的递归方法。需要指出的是，这种设定常数xB的方法忽略了可能存在从表面到体相的反向效应，这可能会使xB的数值产生偏差。然而，这一近似是可接受的，以使模型简化并可求解。

在浓度xB恒定的情况下，通过方程(3.8)可以递归计算表面的解，经过若干次迭代后达到不动点解。

方程(3.8)的形式表明，无论系统是反铁磁或铁磁的，表面上预期会出现均匀的1‐循环解，而反铁磁伊辛模型则呈现出交替的2‐循环解作为有序态[13]。负的相邻相互作用 J倾向于使S与SB以及S0与SB成对反平行排列。除非我们将对角相互作用 JP也设为负值，并且足够大以超过 J，否则系统将倾向于S与S0具有相同的自旋态。

回想起来，体相解可以是表示亚稳态的单周期解，也可以是一组作为有序态的2‐循环解[13]。取通常为0.5且H = 0时的单周期x B ，我们将得到一个固定的 $\bar{x} = 0.5$，这也对应于一个亚稳表面；对于2‐循环解，我们可以代入任一固定解作为x B ，这将影响对 $\bar{x}$的计算，从而使表面不动点解偏向0或1。例如，由于反铁磁性，在T = 0且H = 0时，体相中会出现0和1两个解，此时若取x B = 0，表面解将被捕获为 $\bar{x} = 1$，反之亦然。我们的结果证实，基于任一选择所计算的热力学性质是完全相同的。

图3展示了表面有序解与双周期体相解的比较，能量项设置为J = 21, J = 1，其余为0。亚稳态 0.5解未在图3中呈现。为了方便起见，在后续讨论中我们仍将稳定解及相应热力学称为“双周期”，尽管 ZSRL中稳定和亚稳态 x实际上均为单周期形式。

可以观察到，在高温下所有解均为0.5，即各处自旋取+1的概率相等。在居里点以下，自旋发生自发磁化（即使没有外场H），相邻自旋倾向于形成 þ/2交替排列，这是最低能量态。体相伊辛模型的双周期浓度xB值参考了以往的研究报告[10,13]。除了体相解之外，在体相居里点以下，表面自旋也表现出向单一方向排列的倾向；然而，我们将证明实际的相变发生在远低于TC(体相)的温度。

还有一点需要说明。我们知道，根据精确解，对于方格子，自发磁化发生在TC = 2/log(1 + √2) ≈ 2.27。在递归格子（RL）中，体相转变温度为2.8，如图3所示，虽然与已知的TC相差较大，但比平均场理论的结果更接近。我们认为这种高估是可以接受的。RL方法给出的结果介于“真实”的精确解与平均场理论之间，这一特点似乎是普遍的。类似的结果也在其他研究中被观察到，例如三维立方格子[13]。然而，这种高估的本质尚未被深入研究。

3.2. 自由能计算

我们采用Gujrati技巧，通过递归方法[6,13]计算局部区域的自由能。该方案简要描述如下，如图4所示。

由于表面具有均匀结构和解，我们可以随机选择一个格点作为原点O。所选的局部区域为在原点处连接的两个三角单元。设想我们将贡献于点A和A0的两棵子树剪下，然后重新连接，形成一个相同但更小的 ZSRL，并将悬挂于B和B0上的两个部分体相树连接起来，构成一个完整的Husimi方格子；因此有F_total = F_local +

F_bulk + F_smaller。根据亥姆霍兹自由能 F = -k_B T log Z 的定义，局部区域中每个格点的 F 为

$$
F_{\text{site}} = -\frac{1}{3} T \log \left( \frac{Z_0}{Z_1 \cdot Z_B} \right),
\quad (3:9)
$$

因为局部区域有三个完整格点（在整格点 S0 上）和四个半共享格点 S1, SB，且 kB 被归一化为 1。

回顾方程(3.1)–(3.3)，可以很容易地将局部自由能分解为PPF的函数。然后根据上一节推导出的Z(+)、序参量Q和浓度x之间的关系，我们可以计算上述函数。

$$
F_{\text{site}} = -\frac{1}{3} T \log \left( Q_0^2 \cdot x_B \cdot 2 e^{-\beta H} + (1 - x_B) \cdot 2 e^{\beta H} \right),
\quad (3:10)
$$

那么，熵和能量（每个格点）可轻易地通过 S = -dF/dT 和 E = F + TS 得到。

4. 结果与讨论

4.1. 表面热力学与相变

参考设置的热行为，其中J = 21, J = 1及其他参数为0，如图5所示。两个解的自由能在T = 2.8处出现分歧。通常，这种分岔在常规自旋模型中表示自发磁化（居里点）。然而，在此处表面上，交替自旋排列的磁化并未使无序0.5解以下的自由能向下弯曲，而是向上弯曲，这导致熵急剧增加，属于非物理的情况。因此，该点处的2‐循环解仅具有数值存在性，系统必须沿1‐循环解的曲线演化，直到在T = 1.33处达到一个交叉点，此时系统发生从非晶态到晶态有序的转变，即临界温度T C 下的有序–无序转变。与传统自发电磁化中熵连续不同，此处的熵必须经历类似于一级相变的不连续跃变。由此可以得出结论：表面上的临界有序–无序转变并非居里点，而是远低于体相的临界温度。这可以理解为由于不对称性以及

由于表面的配位数较小，外层自旋受到体相部分的拖拽作用较弱。在真实的TC(体相)和表面上表观居里点以下，表面自旋可以在较深的温度区域保持其“熔化”状态，这种现象并不属于过冷液体的概念，因为在特定温度区域对应的晶态是不可行的。直观上，这一现象可能容易让人联想到冰的预熔化[14]；然而，本工作仅关注初步建模，不再进一步展开这一点。

对于TC以下的1‐循环解，系统可以在不发生任何相变的情况下进行冷却，并具有过冷态的特征。随着进一步冷却，2‐循环解的熵趋近于零，而1‐循环解的熵在T = 0.69时变为负值，这便是TK[13]处的考兹曼悖论。

结果表明，自由表面显著降低了转变温度。图6展示了Husimi体相系统与ZSRL的自由能比较。这一观察结果与其他关于表面或薄膜上相变的研究一致，例如受限几何中聚合物体系的玻璃化转变[7–9,15]。在我们的单原子模型中也能观察到类似的降低，这意味着表面/薄膜上较低的转变温度本质上源于维度降低和相互作用约束的减少。

4.2. 次级能量参数的影响

除了数学上的兴趣之外，建立理论模型时始终有一个主要期望，即描述和研究真实系统。因此，除了最近邻之间的相互作用J和 J外，还引入了其他相互作用，以使模型更具通用性来描述各种系统，如方程 (2.1)所示。通过设置可调的能量参数组合，我们可以调控系统的热行为和转变温度，使其在特定情况下更好地符合实际。换句话说，更多的可调参数可作为有效工具，使理论模型与实验参数相关联。通过将体相内的J＝ 21和其他参数控制为0，我们探究了 J、 JP和 0J的影响。这些次级参数可能与J协同或竞争，在特定设置下发现了某些有趣的相行为。

4.2.1. 表面邻近相互作用 J

考虑到边界上的不对称性特征，我们将表面上的最近邻相互作用记为 J，并使其与体相中的J不同且可调节，从而使模型能够描述某些特定情况，例如表面张力。当其他参数为0，且 J = 0.5, 20.7, 20.9, 21.1, 21.3 和 21.5 时，相应的转变温度如表1所示。

由于负的 J符合反铁磁结构J＝ 21， J的绝对值越大，系统越稳定，临界玻璃化转变温度和理想玻璃化转变温度均升高；且由比值T C /T K 表示的过冷区域相对长度逐渐增加。然而，当 J = 0.5从20.7减小时，T C 和T K 均下降，而后者下降更为显著。

形成更大的过冷区域。这一临界现象表明，表面相互作用过弱时更容易被过冷。

4.2.2. 对角相互作用 JP

三角单元中两个顶端格点之间的对角相互作用 JP是唯一与最近邻 J相竞争的相互作用。表2总结了 JP ＝+ 0.2,+0.4和0.6时的转变温度。如预期所示，当 JP与 J极性相同时，会阻碍有序度，导致TC和 TK降低；而正的 JP与 J协同作用，使转变温度Ts升高，并扩大过冷区域。当 JP = 0.4时，也观察到 Ts显著降低以及TC/TK比值增大的类似现象，这表明 JP与 J之间的剧烈竞争具有与弱 J相同的效果，使得表面更倾向于进入过冷态。

4.2.3. 三重态相互作用 J0

为避免分析复杂的三体相互作用，引入了三重相互作用项 J0来描述三角单元的紧凑极性，其作用可能类似于磁场H。表3总结了 J0 = 0.3、20.1和0.1时的转变温度Ts。研究发现，负的 J0会提高转变温度，反之亦然，且热力学对 J0 ,非常敏感，即微小的变化就会

表1. 不同交换积分J下的转变温度变化。

J	TC	TK	TC/TK
20.5	0.85	0.40	2.13
20.7	1.10	0.60	1.83
20.9	1.20	0.63	1.90
21	1.33	0.69	1.93
21.1	1.50	0.77	1.95
21.3	1.80	0.90	2.00
21.5	2.10	1.01	2.08

表2. 不同交换积分JP下的转变温度变化。

JP	TC	TK	温温度度CK/
20.4	0.85	0.40	2.13
20.2	1.10	0.60	1.83
0	1.33	0.69	1.93
0.2	1.54	0.75	2.05
0.4	1.73	0.85	2.04
0.6	1.90	0.92	2.07

表3. 不同交换积分J0下的转变温度变化。

J0	TC	TK	TC/TK
20.3	1.90	0.76	2.50
20.1	1.55	0.70	2.21
0	1.33	0.69	1.93
0.1	1.05	0.69	1.52

显著改变系统的整体热行为。当 J0的绝对值大于0.3时，系统可能收敛到某些奇特的状态，这将在下一节中详细说明。

4.3. 两种具有不同交换积分J的特殊情况

由于 J0在ZSRL中起主导作用， J0的取值被限制为相对较小。当 J0 = 0.3和 J0 = 0.5时，可观察到异常行为。在第一种情况下，如图7所示，2‐循环解的自由能始终不会低于1‐循环解。即使其在低温下具有更低的熵，但由于不存在交叉点，无法确定有序–无序转变的位置。另一方面，1‐循环解仍然经历考兹曼悖论。因此，唯一合理的理解是，在此条件下，无论体相的热力学状态如何，表面都无法实现晶态。随着温度降低，我们只能得到过冷液体及其随后的玻璃态。

当 J0 = 0.5:时，系统达到另一个极端：图8显示，在自由能分叉点以下，2‐循环解始终比单周期更稳定，类似于常规反铁磁伊辛模型的正常行为，因此有序–无序转变表现为自发磁化；在TC以下，系统可能处于晶体有序态，也可能处于亚稳过冷态。

1‐循环和2‐循环解的自由能；(b) 温度T = 2.8附近自由能的放大图。)

5. 结论

已构建一个之字形表面递归晶格，用于描述具有一维边界的规则方格子。该之字形结构被视为由三角单元组成的表面，并在三角单元上悬挂半Husimi树以表示体相部分。由于体相内部的配位数为四，表面平均配位数为三，该模型被认为是具有表面的规则方格子的一个良好近似。

反铁磁伊辛模型在晶格上被求解，通过从规则Husimi晶格中获取常数xB来计算体相贡献，并在表面获得均匀解以表示有序态。然后，可通过常规技术从 x和xB推导出表面原点附近局部区域的热力学性质。

结果发现，与体相相比，表面的转变温度显著降低，这种降低完全是由于表面的维度降低以及相互作用约束减少所致。

研究了除最近邻 J之外的各种相互作用能量参数的影响。这些相互作用可能增加或降低系统的稳定性，并根据哈密顿量改变转变温度。除了参数的影响外，我们还发现了在特定能量设置下系统表现出的一些有趣行为。