89、主成分分析（PCA）及其在特征分区框架中的应用

主成分分析（PCA）及其在特征分区框架中的应用

1. 主成分分析（PCA）概述

主成分分析（PCA）是一种子空间方法，它作用于数据集的整体模式，旨在找到一个低维子空间，用于将数据从高维空间转换到低维空间。所选的子空间（即PCA空间）代表了给定数据集最大方差的方向，PCA的目的是在低维空间中找到最准确的数据表示。

1.1 协方差矩阵的计算

假设训练集由 $N$ 个维度为 $d$ 的向量 $V_i$（$i = 1, 2, \cdots, N$）组成，均值向量用 $\overline{V}$ 表示，协方差矩阵 $C_{PCA}$ 的计算公式如下：
[
C_{PCA} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (V_i - \overline{V})(V_i - \overline{V})^T
]
其中，
[
\overline{V} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} V_i
]

1.2 主成分的计算

$e_{opt}$ 是 $C_{PCA}$ 对应最大特征值的最优投影方向（轴）。通常会选择一组投影方向（轴）$e_1, e_2, \cdots, e_{d’}$ 来最大化特征向量的强度，这些最优投影方向是 $C_{PCA}$ 前 $d’$ 个最大特征值对应的正交归一特征向量。设 $E_{PCA} = [e_{PCA}^1 \cdots e_{PCA}^2 \cdots \cdots e_{PCA}^{d’}] {d \times d’}$ 是对应 $d’$ 个最大特征值的特征向量。对于输入向量 $V_i$，其主成分（