35、图像处理中的张量微积分基础入门

图像处理中的张量微积分基础入门

1. 张量基础概念

在深入探讨张量之前，我们需要了解一些基础的数学概念。向量可以用爱因斯坦记号表示为 (x = x_ib_i)，这里 (b_i) 是基向量，知道基之后，我们就能将向量 (x) 写成坐标形式 (x = (x_1, x_2, \ldots, x_n))。理解张量有两个重要的基础数学概念：
- 线性算子
- 坐标系变换 - 雅可比矩阵

2. 线性算子

对于给定的向量 (x)，我们定义一个向量函数 (f)，使得 (y = f(x))。若对于任意标量 (r)、(s) 以及任意向量 (x)、(y)，满足 (f(rx + sy) = rf(x) + sf(y))，则称 (f) 是线性的。

将 (x = \sum_{i=1}^{n} x_ib_i) 代入线性条件可得：
(f(x) = f(\sum_{i=1}^{n} x_ib_i) = \sum_{i=1}^{n} x_if(b_i))

又因为 (f(b_i)) 也是向量，可表示为 (f(b_i) = T^k_ib_k)，其中 (T^k_i) 是标量，构成张量 (T) 的分量。将其代入上式得到 (f(x) = x_i(T^k_ib_k))。

这表明，要得到线性算子 (f) 作用在向量 (x) 上的结果向量，只需将向量 (x) 的分量、基向量 (b_i) 以及张量 (T) 的值相乘后求和。因此，完全定义 (f) 就需要知道其关联的张量 (T)。

线性函数的概念还可以扩展为更一般的线性算子，它将向量 (x) 映射为向量 (y)，即 (f: x \to y)。这样我们就能将线性泛函的空间推广