27、图匹配与在线负载均衡算法解析

图匹配与在线负载均衡算法解析

在图论和算法领域，图匹配问题和在线负载均衡问题一直是研究的热点。下面将详细介绍分层 b - 匹配问题和在线负载均衡问题的相关算法及成果。

分层 b - 匹配问题

分层 b - 匹配问题是 b - 匹配问题的扩展。在这个问题中，顶点以分层的方式组织（与图的结构无关），每一层的顶点被划分为不相交的子集，每个子集的度之和有给定的界限。优化目标是找到满足所有度界限的最大边集。

算法步骤

1. 初始处理 ：在处理过程中，会对图 (H_M) 进行分析。当所有 (H_M) 的环都是奇数环时，这些奇数环是顶点不相交的，因为否则 (H_M) 中会存在偶数环。奇数环的数量最多为 (|V(G)| / 3)。
2. 奇数环处理 ：对于 (H_M) 的奇数环 (C)，选取 (C) 的最大匹配，将匹配中每条边 (e) 的 (x_{e,M}) 增加 (1/2)，并将 (C) 中其他边的 (x_{e,M}) 减少 (1/2)。这种修改不会增加顶点的度，也不会增加集合 (L) 的度，但会使 (|M|) 减少 (1/2)。此阶段的总损失最多为 (|V(G)| / 6)。
3. 无环处理 ：此时 (H_M) 是无环的，即森林。如果将森林中所有边的 (|M|) 减少 (1/2)，(|M|) 最多减少 (|V(G)| / 2)。最终可得 (|M| \geq |M’| - \frac{2}{3}|V(G)| \geq |M^*| - \frac{2}{3}|V(G)|)。

主要定