ACM: 动态规划题 黑书-…

贪吃的九头蛇

【问题描述】

传说中的九头龙是一种特别贪吃的动物。虽然名字叫“九头龙”，但这只是说它出生的时候有九个头，而在成长的过程中，它有时会长出很多的新头，头的总数会远大于九，当然也会有旧头因衰老而自己脱落。

有一天，有M个脑袋的九头龙看到一棵长有N个果子的果树，喜出望外，恨不得一口把它全部吃掉。可是必须照顾到每个头，因此它需要把N个果子分成M组，每组至少有一个果子，让每个头吃一组。

这M个脑袋中有一个最大，称为“大头”，是众头之首，它要吃掉恰好K个果子，而且K个果子中理所当然地应该包括唯一的一个最大的果子。果子由N-1根树枝连接起来，由于果树是一个整体，因此可以从任意一个果子出发沿着树枝“走到”任何一个其他的果子。

对于每段树枝，如果它所连接的两个果子需要由不同的头来吃掉，那么两个头会共同把树枝弄断而把果子分开；如果这两个果子是由同一个头来吃掉，那么这个头会懒得把它弄断而直接把果子连同树枝一起吃掉。当然，吃树枝并不是很舒服的，因此每段树枝都有一个吃下去的“难受值”，而九头龙的难受值就是所有头吃掉的树枝的“难受值”之和。

九头龙希望它的“难受值”尽量小，你能帮它算算吗？

例如图1所示的例子中，果树包含8个果子，7段树枝，各段树枝的“难受值”标记在了树枝的旁边。九头龙有两个脑袋，大头需要吃掉4个果子，其中必须包含最大的果子。即N=8，M=2，K=4：

图一描述了果树的形态，图二描述了最优策略。

【输入文件】

输入文件dragon.in的第1行包含三个整数N (1<=N<=300)，M (2<=M<=N)，K (1<=K<=N)。 N个果子依次编号1,2,...,N，且最大的果子的编号总是1。第2行到第N行描述了果树的形态，每行包含三个整数a (1<=a<=N)，b (1<=b<=N)，c (0<=c<=10⁵)，表示存在一段难受值为c的树枝连接果子a和果子b。

【输出文件】

输出文件dragon.out仅有一行，包含一个整数，表示在满足“大头”的要求的前提下，九头龙的难受值的最小值。如果无法满足要求，输出-1。

【样例输入】

8 2 4
1 2 20
1 3 4
1 4 13
2 5 10
2 6 12
3 7 15
3 8 5

8 3 4
1 2 20
1 3 4
1 4 13
2 5 10
2 6 12
3 7 15
3 8 5

2 2 1
1 2 10

2 2 2
1 2 10

【样例输出】

4

0

0

-1

题意: 一条九头龙的动物, 有M个脑袋, 每个脑袋都必须吃到果子, 一棵有N个果子的树, 分配给它每个头吃,

      其中一个最大的头要吃K个果子, 其余分配给其它的头, 如果一个头同时吃到相邻的果子会有一个难受

      值, 现在要你分配果子使得难受值的和最小.

解题思路: (黑书思路)

        1. 无解情况, 果子不够吃, N<K+M-1

        2. 当M=2时, 大头要不吃到相邻的要不吃不到. 当M>=3时, 确定大头吃掉之后, 剩下的果子按照果树

           高度奇偶分配即可. 可以确定问题: 当M=2时, 难受值=两端果子被大头或小头吃的难受值之和.

           当M>=3时, 两端的果子都被大头吃掉的难受值之和.(因为问题有解, 所以剩下一定满足不相邻分配)

        3. 为了简化问题(减少决策), 将多叉树转化成二叉树结构(左孩子右兄弟结构).

            设状态: dp[i][j][k]: 表示以i节点为根的子树有j个果子分配给大头吃的最小难受值. 其中,

            k=0表示fa[i]被大头吃, k=1表示fa[i]被小头吃.

            方程:  dp[i][j][k] = min(

                                    dp[X1][j1][1]+dp[X2][j-j1][k] + judge(k,1)*cost(i, fa[i]);

                                    dp[X1][j1][0]+dp[X2][j-j1-1][k] + judge(k,0)*cost(i, fa[i]);

                                            );

            X1:是i节点的字节点, X2:是i节点的兄弟节点(父亲被吃情况相同时k); judge判断k与1是否相同.

            judge(k1, k2): (k1 == 1&&k2 == 1  ==> judge(k1,k2) = 1)

                           (k1 == 0&&k2 == 0&&M==2 ==> judge(k1, k2) == 1)

                           other judge(k1, k2) == 0;

            边界: dp(0,0,k) = 0; dp(0,j,k) = INF(无穷大, 表示情况不成立, j>0);

代码:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
#define MAX 305
const int INF = (1<<29);

struct node
{
    int v;
    int next;
}edges[MAX*2];

int n, m, K;
int dp[MAX][MAX][2];
int fa[MAX], son[MAX], bro[MAX], ch[MAX];
int first[MAX], num;
int cost[MAX][MAX];

inline int min(int a, int b)
{
    return a < b ? a : b;
}

inline void add(int u, int v)
{
    edges[num].v = v;
    edges[num].next = first[u];
    first[u] = num++;
}

void readGraph()
{
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    memset(first, -1, sizeof(first));
    memset(son, 0, sizeof(son));
    memset(bro, 0, sizeof(bro));
    memset(cost, 0, sizeof(cost));
    num = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        ch[i] = 1;
        fa[i] = i;
    }
    int u, v, w;
    for(int i = 1; i < n; ++i)
    {
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        cost[u][v] = cost[v][u] = w;
        add(u, v);
        add(v, u);
    }
}

void makeGraph(int u, int f) //转换成二叉树
{
    fa[u] = f;
    int *point = &son[u];
    for(int e = first[u]; e != -1; e = edges[e].next)
    {
        int v = edges[e].v;
        if(v == f) continue;
        *point = v;
        point = &bro[v];
        makeGraph(v, u);
    }
}

inline int judge(int i, int j)
{
    if(i == 1 && j == 1) return 1;
    else if(i == 0 && j == 0 && m == 2) return 1;
    else return 0;
}

int dfs(int x)
{
    if( !son[x] && !bro[x] ) return ch[x];
    return ch[x] += dfs(son[x])+dfs(bro[x]);
}

int DP(int i, int j, int k)
{
    if(j < 0) return INF;
    if(dp[i][j][k] != -1) return dp[i][j][k];
    if(j > ch[i]) return dp[i][j][k] = INF;
    if(i == 0 && j == 0) return dp[i][j][k] = 0;
    if(i == 0) return dp[i][j][k] = INF;
   
    int ans = INF;
    int temp1 = INF, temp2 = INF;
    for(int t = 0; t <= j; ++t)
    {
        temp1 = DP(son[i], t, 1)+DP(bro[i], j-t, k)+judge(k,1)*cost[i][fa[i]]; //小头吃i
        temp2 = DP(son[i], t, 0)+DP(bro[i], j-t-1, k)+judge(k,0)*cost[i][fa[i]]; //大头吃i
        ans = min(ans, min(temp1, temp2));
    }
   
    return dp[i][j][k] = ans;
}

int main()
{
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    while(scanf("%d %d %d", &n, &m, &K) != EOF)
    {
        readGraph();
        makeGraph(1, 1);
       
        dfs(1);
        if(n < K+m-1) printf("-1\n");
        else printf("%d\n", DP(son[1], K-1, 0));
    }
    return 0;
}