ACM: 动态规划 poj 1190_poj1190动态规划-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/smile_benson/article/details/51458066

本文介绍了一道关于制作多层生日蛋糕的动态规划问题。目标是最小化蛋糕外表面的面积，同时确保蛋糕各层体积符合给定条件。通过递归方法及剪枝优化策略，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

生日蛋糕
Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。
令Q = Sπ
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。
（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

Input

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

Output

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

Sample Input

100
2

Sample Output

Hint

圆柱公式
体积V = πR²H
侧面积A' = 2πRH
底面积A = πR²
题意: 见题目.

解题思路:
             1. 动态规划题. 找出规划状态. n是总体积, m是总层数.
             问题解析: 我们全部的结果都有pi(圆周率), 我们把它给约掉忽略不计.
                   (1). 采取递归的方法. 假设: 当前的剩余的体积V 和层数dep.
                         从蛋糕的层数(自底向上)向上递归, 当dep = m 时, temp = r*r (初始状态)
                   (2). temp = temp + 2*r*h. 加上每层的侧面积. (V >= r*r*h)
                   (3). 剪枝操作: 2*v/r + temp >= result;
                          当前的剩下表面积 + 当前最小表面积 >= 最小表面积
r*r*h = V ===> h = V/(r*r) ===> 代入: 2*r*h 即: 2*r * (V/(r*r)) = 2*v / r;

代码:
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int INF = (1<<30);

int n, m;
int mv[21];
int temp;
int result;

inline int min(int a,int b)
{
    return a < b ? a : b;
}

void dfs(int v,int dep,int r,int h)
{
    if(dep == 0)
    {
        if(v == 0 && temp < result)
            result = temp;
        return ;
    }
    else if(v - mv[dep-1] < 0 || temp >= result || 2*v/r + temp >= result)
        return ;
    else
    {
        for(int rr = r-1; rr >= dep; --rr)
        {
            int hm = min( h-1 , (v-mv[dep-1])/rr/rr );
            for(int hh = hm; hh >= dep; --hh)
            {
                if( (v-rr*rr*hh) >= 0 )
                {
                    if(dep == m)
                        temp = rr*rr;
                    temp += 2*rr*hh;
                    dfs(v-rr*rr*hh,dep-1,rr,hh);
                    temp -= 2*rr*hh;
                    if(dep == m)
                        temp = 0;
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    memset(mv,0,sizeof(mv));
    for(int i = 1; i <= 21; ++i)
        mv[i] = mv[i-1] + i*i*i;
//    freopen("input.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d %d",&n,&m) != EOF)
    {
        result = INF;
        dfs(n,m,n+1,n+1);
        if(result == INF)
            printf("0\n");
        else
            printf("%d\n",result);
    }

    return 0;
}