24、切割操作产生的语言复杂度范围解析

切割操作产生的语言复杂度范围解析

1. 预备知识

在开始探讨切割操作的复杂度之前，先介绍一些基础概念：
- 有限自动机（DFA） ：一个确定有限自动机（DFA）是一个五元组 (A = (Q, \Sigma, \delta, s, F))，其中 (Q) 是有限非空状态集，(\Sigma) 是有限非空输入符号集，(s \in Q) 是初始状态，(F \subseteq Q) 是最终（或接受）状态集，(\delta: Q \times \Sigma \to Q) 是转移函数，可自然扩展到 (Q\times\Sigma^ ) 域。被 DFA (A) 接受（或识别）的语言定义为 (L(A) = { w \in\Sigma^ | \delta(s, w) \in F})。
- 等价与最小化 ：两个 DFA (A) 和 (B) 等价当且仅当 (L(A) = L(B))。一个自动机是最小的，如果相对于状态数，它没有更小的等价自动机。对于 DFA，可通过证明所有状态都可从初始状态到达且所有状态两两可区分来验证此属性。
- 状态复杂度 ：正则语言的状态复杂度是识别该语言的最小 DFA 中的状态数。
- 切割操作 ：语言 (K) 和 (L) 的切割操作，记为 (K!L)，定义为 (K!L = { uv | u \in K, v \in L, \text{ 且 } uv’ \notin K \text{ 对于 } v \text{ 的每个非空前缀 } v’})。

下面是切割自动机 (A!B) 的构造：