12、非线性方程的根求解方法

非线性方程的根求解方法

在数学领域中，求解非线性方程的根是一个重要的问题。本文将介绍几种常用的求解非线性方程实根的方法，包括图形法、二分法、牛顿迭代法和割线法，并通过具体的例子和代码来展示这些方法的应用。

1. 引言

当处理函数 $f(x)$ 的零点或根时，我们实际上是在求解标量方程 $f(x) = 0$。在 MATLAB 中，可以使用 roots 命令来求解多项式的根，但如果需要更高的精度，本文讨论的方法将更为有用。

2. 图形法

图形法是一种直观的求解方程根的方法。通过绘制函数的图形，可以大致确定根的位置。

2.1 示例方程

考虑方程 $f(x) = x\sin(\frac{1}{x^3}) - 0.9e^{-x} = 0$。当 $x$ 从正方向趋近于 0 时，$\sin(\frac{1}{x^3})$ 项会以指数级的频率振荡，并且在 $x = 0$ 时变得奇异。通过绘制 $x\sin(\frac{1}{x^3})$ 和 $0.9e^{-x}$ 的图形，或者绘制它们的组合函数的图形，可以发现该方程只有一个正根，且大约在 $x = 0.75$ 附近。通过观察图形，更精确的估计值约为 0.73。

graph LR
    A[开始] --> B[绘制函数图形]
    B --> C[观察图形确定根的大致位置]
    C --> D[使用工具放大图形获取更精确值]
    D --> E[结束]

2.2 练习 A