11、Z变换与逆Z变换：原理、方法及应用

Z变换与逆Z变换：原理、方法及应用

1. 引言

在数字信号处理领域，Z变换是一种强大的工具，它能够将离散时间序列转换为复变量z的函数，从而简化线性时不变系统的分析。而逆Z变换则是将Z域的函数还原为离散时间序列的过程。本文将详细介绍Z变换和逆Z变换的相关知识，包括定义、求解方法以及实际应用案例。

2. Z变换与逆Z变换的定义

序列x(n)的Z变换定义为：
[X(z)=\sum_{n = -\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}]
逆Z变换的定义为：
[x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C}X(z)z^{n - 1}dz]
其中，积分符号上的圆形符号表示在复平面上的一个闭合曲线C。

3. 逆Z变换的求解方法

逆Z变换可以通过至少三种方法来求解：
- 部分分式展开与查表法
- 幂级数展开法
- 留数法

3.1 部分分式展开与查表法

这是一种常用的求解逆Z变换的方法，其一般步骤如下：
1. 消除Z变换函数X(z)中的z的负幂次 ：通过乘以适当的z的幂次，将X(z)转换为不含负幂次的形式。
2. 确定有理函数X(z)/z ：假设它是一个真分式，然后使用部分分式展开公式将其展开。
3. 将展开后的函数X(z)/z两边乘以z，得到X(z) 。
4. 使用查表法进行逆Z变换 ：根据展开后的X(z)的形式，查找相应