算法学习笔记——Dijkstra算法

Dijkstra算法

用于计算有权图中一个节点到其他节点的最短路径。

基本原理

从起始点出发，重复寻找所有点中距离源点最近的且未访问过的结点，把该节点设置为已访问，然后利用该结点更新该节点的邻居节点的距离数组，直到访问过全部结点为止，最终的距离数组即为源点到其余各点的最短路径距离。

注：

距离数组：用于记录当前所有点到源点的距离，D[i]表示从源点到第i个点的最短路径距离。初始时数组中的每个值应该为无穷大。这个数组在算法进行中被不断更新，Dijkstra算法结束后，此数组中各个值应该表示源点到其余各点的最短路径距离。

已访问的点：每一次重复中找到的、**距离源点最近（D[i]最小）**且未访问过的节点。

算法正确性

如图，0是源点。与0相连的三个点中，0-2的距离是最短的，那么从0到2的最短路径长就是2，即D[2]=2。原因是从0出发，若走中途不经过2的路径到达2，那么一定会经过1或3，从0到1或从0到3的距离就已经比从0直接到2的距离长了。若中途经过2最后又回到2，那么就绕了圈，也是比从0直接到2长的。所以D[2]=2。然后把2设置为已访问，代表已经确定了从源点出发到2的最短路径长，后续不应该再更新D[2]了（体现了dp的思想）。

2是已访问的点，1和3是他的邻居节点。根据算法，还要把点1和点3距离源点的距离D[1]和D[3]进行更新。虽然不能确定此时的D[1]和D[3]就一定是从源点到点1和点3的最短路径，但是对于这样的点，可以一边遍历所有节点一边不断更新D[i]为更小的值，来找到可能的最短路径。

接下来，按照距离数组中的数据，找到与源点距离最短的点，标记为已访问。目前，距离数组中最小值为D[1]=3，根据算法，可以确定从0到1的最小距离就是3。

我们这样做是否正确，就决定了这个算法是否正确。一般地，设集合S表示已访问点的集合，（对于本例，S的初始成员显然地就是0/0和2）对于每一个已访问点i，其到源点的最短距离已然确定，那么D[i]+点i到其邻居节点的距离就是从源点出发，经过节点i，到达这个邻居节点的最短路径。在算法进行的过程中，在S集合到达这个状态之前，我们已经遍历过所有已访问点，并且按照上述方法更新了所有他们的邻居节点k的D[k]最小值。那么此时所有不在S中的点k，且不为无穷大的D[k]值就表示从源点出发，只能经过集合S中的点，最终到达该点k的最小距离。每一个D[k]值都对应着唯一的一条这样的线路。

现在假设有一条比这条线路还短的线路，起点终点不变。那么他就无法“只能经过集合S中的点”了，设路径中第一个不在S中的点为w。那么“起点—w”长度<“起点—w—k”长度<D[k]。而w是第一个不在S中的点，那么在S中必然能找到一个点，使w是他的邻居节点。说明对于所有不在S中的点，且不为无穷大的D值，是D[w]而不是D[k]，这就与前提条件矛盾。因此，说明D中的最小值D[k]对应的线路，就是从源点出发到节点k的最小距离。

走山路与heap优化

题目描述

某同学在一处山地里，地面起伏很大，他想从一个地方走到另一个地方，并且希望能尽量走平路。 现有一个m*n的地形图，图上是数字代表该位置的高度，"#"代表该位置不可以经过。 该同学每一次只能向上下左右移动，每次移动消耗的体力为移动前后该同学所处高度的差的绝对值。现在给出该同学出发的地点和目的地，需要你求出他最少要消耗多少体力。

输入

第一行是整数 m,n,p，m是行数，n是列数，p是测试数据组数。 0 <= m,n,p <= 100 接下来m行是地形图 再接下来n行每行前两个数是出发点坐标（前面是行，后面是列），后面两个数是目的地坐标（前面是行，后面是列）（出发点、目的地可以是任何地方，出发点和目的地如果有一个或两个在"#"处，则将被认为是无法达到目的地）

输出

n行，每一行为对应的所需最小体力，若无法达到，则输出"NO"

样例输入

4 5 3
0 0 0 0 0
0 1 1 2 3
# 1 0 0 0
0 # 0 0 0
0 0 3 4
1 0 1 4
3 4 3 0

样例输出

2
3
NO

Dijkstra做法

m,n,case=map(int,input().split())#行数、列数、测试用例
output=[]#输出
mount_map=[]#地形图，内涵有权图的信息
for _ in range(m):
    mount_map.append(input().split())#str型
direction=[(-1,0),(1,0),(0,1),(0,-1)