快速沃尔什变换（FWT）（学习笔记）

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FWT

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本文深入讲解了FWT（快速沃尔什-哈达玛变换）算法，该算法用于处理涉及二进制运算的卷积问题，如or卷积、and卷积和xor卷积。文章详细解释了FWT的工作原理，并提供了C++实现代码，展示了如何通过FWT解决不同类型的卷积问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

学习了 $F F T$ ，已经解决了形如 $c(k)=\sum_{i+j=k}a(i)\times b(j)$ 的问题，那如果条件不是普通的加法，而是一些特殊的二进制运算怎么办呢？
这时候就有了 $F W T$

也就是说， $F W T$ 可以用来解决形如 $c(k)=\sum_{i\oplus j=k}a(i)\times b(j)$ 的问题，其中 $\oplus$ 是二进制运算符

如何做？
把 $F W T (A)$ 看成一个 $n$ 维向量，然后把它按最高位为 $0 、 1$ 分成 $FWT(A_0)$ 和 $FWT(A_1)$ ，很明显 $FWT(A)=FWT(A_0),FWT(A_1)$

类似 $F F T$ ， $F W T$ 也可以用两个多项式按位相乘而得来
定义
$A+B=(A_0+B_0,A_1+B_1,···,A_n+A_n)$
$A-B=(A_0-B_0,A_1-B_1,···,A_n-A_n)$
$A\oplus B=(\sum_{i\oplus j=0}A(i)\times B(j),···,\sum_{i\oplus j=n}A(i)\times B(j))$

首先给出结论：
$or卷积:FWT(A)=\begin{cases}FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1)&n>0\\A&n=0\end{cases}$
$and卷积:FWT(A)=\begin{cases}FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1)&n>0\\A&n=0\end{cases}$
$xor卷积:FWT(A)=\begin{cases}FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1)&n=1\\A&n=0\end{cases}$

证明：
~~其实感性理解一下也行···~~
大概就是根据二进制运算的性质，比如 $o r$ 的话 $1 ∣ 1 = 1, 1 ∣ 0 = 1, 0 ∣ 1 = 1, 0 ∣ 0 = 0$ ，所以说 $A_0$ 会给 $A_1$ 有贡献， $a n d, x o r$ 类似

具体证明可以去看yyb大佬的博客

对于 $I F W T$ ，反一下就行了
$or卷积:FWT(A)=FWT(A_0),FWT(A_0)-FWT(A_1)$
$and卷积:FWT(A)=FWT(A_0)-FWT(A_1),FWT(A_1)$
$xor卷积:FWT(A)=\frac{FWT(A_0)+FWT(A_1)}{2},\frac{FWT(A_0)-FWT(A_1)}{2}$

模板题

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char c=' ';
	while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
	while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}

const int N=(1<<17)+5;
int n,a[N],b[N],c[N],d[N],inv2,ed;
const int mod=998244353;

inline int qpow(int x,int k){
	int ret=1;
	while(k){
		if(k&1) ret=1LL*ret*x%mod;
		x=1LL*x*x%mod; k>>=1;
	} return ret;
}

inline void FWT_xor(int *F,int type){
	for(int mid=1;mid<ed;mid<<=1)
		for(int r=mid<<1,j=0;j<ed;j+=r)
			for(int k=0;k<mid;k++){
				int x=F[j+k],y=F[j+mid+k];
				F[j+k]=(x+y)%mod; F[j+mid+k]=(x-y+mod)%mod;
				if(type==-1) F[j+k]=1LL*F[j+k]*inv2%mod,F[j+mid+k]=1LL*F[j+mid+k]*inv2%mod;
			}
}

inline void FWT_or(int *F,int type){
	for(int mid=1;mid<ed;mid<<=1)
		for(int r=mid<<1,j=0;j<ed;j+=r)
			for(int k=0;k<mid;k++){
				(F[j+k+mid]+=type*F[j+k])%=mod;
				if(F[j+k+mid]<0) F[j+k+mid]+=mod;
			}
}

inline void FWT_and(int *F,int type){
	for(int mid=1;mid<ed;mid<<=1)
		for(int r=mid<<1,j=0;j<ed;j+=r)
			for(int k=0;k<mid;k++){
				(F[j+k]+=type*F[j+mid+k])%=mod;
				if(F[j+k]<0) F[j+k]+=mod;
			}
}

int main(){
	n=rd(); ed=1<<n; inv2=qpow(2,mod-2);
	for(int i=0;i<ed;i++) c[i]=a[i]=rd();
	for(int i=0;i<ed;i++) d[i]=b[i]=rd();
	FWT_or(a,1); FWT_or(b,1);
	for(int i=0;i<ed;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;
	FWT_or(a,-1);
	for(int i=0;i<ed;i++) printf("%d ",a[i]),a[i]=c[i],b[i]=d[i];puts("");
	FWT_and(a,1); FWT_and(b,1);
	for(int i=0;i<ed;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;
	FWT_and(a,-1);
	for(int i=0;i<ed;i++) printf("%d ",a[i]),a[i]=c[i],b[i]=d[i];puts("");
	FWT_xor(a,1); FWT_xor(b,1);
	for(int i=0;i<ed;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;
	FWT_xor(a,-1);
	for(int i=0;i<ed;i++) printf("%d ",a[i]);
	return 0;
}