高维前缀和

高维前缀和就是求关于一个集合子集(或超集)的状态的和

牛客有一道题写的很好
传送门
题面就已经说明了高维前缀和的原理
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/167/C
来源：牛客网

对于一个一维数组求部分和，可以使用如下代码

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    a[i] += a[i - 1];
}

对于一个二维数组求部分和，可以使用如下代码

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
    }
}

或如下代码

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        a[i][j] += a[i][j - 1]
    }
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        a[i][j] += a[i - 1][j]
    }
}

第二份代码看起来更麻烦更慢，来考虑一下三维的情况。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            a[i][j][k] += a[i][j][k - 1] + a[i][j - 1][k] + a[i - 1][j][k];
            a[i][j][k] -= a[i][j - 1][k - 1] + a[i - 1][j - 1][k] + a[i - 1][j][k - 1];
            a[i][j][k] += a[i - 1][j - 1][k - 1];
        }
    }
}

或如下代码

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            a[i][j][k] += a[i][j][k - 1];
        }
    }
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            a[i][j][k] += a[i][j - 1][k];
        }
    }
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
        for (int k = 1; k <= n; k++) {
            a[i][j][k] += a[i - 1][j][k];
        }
    }
}

第二份代码就不一定更慢了（第二份复杂度大约3n^{3，第一份复杂度大概8n}3）
随着维度更高，第一份代码容斥时项数越来越多，而第二份只是多一次遍历整个数组，优势越来越大。
同样的思路能不能推广到更高维的情况呢？

最后的解决方法就是高维前缀和，从低到高枚举位数，然后枚举从$0$到$n-1$的所有元素
核心代码如下：

for(int i=0;(1<<i)<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			if(j&(1<<i)) a[j]+=a[j^(1<<i)];

复杂度$O(n\times 2^n)$
完整代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

inline int rd(){
	int x=0,f=1;char c=' ';
	while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();
	while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x*f; 
}

const int maxn=(1<<20)+5;
int n,a[maxn],sum[maxn];

int main(){
	n=rd();
	for(int i=0;i<n;i++) a[i]=rd();
	for(int i=0;(1<<i)<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			if(j&(1<<i)) a[j]+=a[j^(1<<i)];
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",a[i]);
	return 0;
}