CSAPP学习笔记——Fraction Binary Numbers

浮点数的二进制底层表示

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同整数的二进制底层表示，浮点数也是2的幂的加权。
对于二进制比特串

$$[b_{m},b_{m-1}...b_2,b_1, b_0,b_{-1},b_{-2},b{-3}....b_{-n-1},b_{-n}]$$
表示 $$float\ number = \sum_{i = -n}^{m}b_i*2^{i}$$

因为只能表示为2的幂的加权，所以这种表示形式就有很大的漏洞，那就是任何一个浮点数只能近似的表示。

早期各个计算机制造公司对于浮点数的底层解释不同，这就意味着移植性很差没有统一标准。为了方便，制定了$IEEE\ Standard\ 754$标准，现在的绝大部分机器都使用这种标准。

IEEE浮点数标准

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IEEE浮点数标准使用32位bit表示单精度浮点数$(float)$，64位bit表示双精度浮点数$(double)$。

它们在机器中表示如下 ：

看图片我们可以知道，无论是单精度还是双精度，都分成了三个部分：

1. $sign$ ： 符号位，sign为1表示负数，为0表示正数
2. $exponent$ : 单精度8位（23-30），双精度11位（52-62）。表示一个权重，是2的幂的加权形式。
3. $frac$ ： $n位frac$编码尾数位M。尾数M是一个二进制的小数，它的范围是$1\ to\ 2-\epsilon$或者是$0\ to\ 1-\epsilon$

这里解释一下$1-\epsilon$，对于小数$1.0$,假如说用$6$位比特来表示，那么最多只能表示到$0.111111 -> 63/64$近似为$1$,我们用符号$1-\epsilon$来表示近乎为$1$的数。

一个给定的比特串，根据$exp$的值不同，划分为了三种情况，下面依次介绍。

Normalized Values（规范化数值）

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这是最为常见的值。
当exp