CSAPP学习笔记——Integer Representation

整数的二进制底层表示

对于字长(word size)为w的机器，用w位bit表示一个字(word)。

$$[x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$$

无符号整数的二进制表示

如果该字表示一个无符号整数的话，我们可以用下列公式来计算

$$unsinged = \sum_{i = 0 }^{w-1}x_{i}2^{i}$$

范围 ： $0 <= x < 2^{w}-1$

有符号整数的二进制表示

如果该字表示一个有符号整数的话，现代计算机通常使用补码（two’s complement）方式的编码方式。
补码的确定规则基于这样的事实：
对于一个正整数x，它的相反数y，那么$x + y = 0$是符合我们的直觉的。
对于$[x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$例如$x = 0000001$想找另外的一个$[y_{w-1},y_{w-2}.....y_{0}]$ y使得$x + y = 0000000$(如果$bitlen(x + y) == w + 1$截断最高位)那么$y = 1111111$推导出$y = ~x + 1$
因为$x = 0000001$表示正整数的1，为了使得$y = 1111111$表示-1，我们采用以下公式 ：

$$signed = -x_{w-1}2^{w-1} + \sum_{i = 0 }^{w-2}x_{i}2^{i}$$
我们给了最高位一个很大的负权重来达到我们的目的。
范围 ： $-2^{w-1} <= x < =2^{w-1} -1$
这种编码方式成为补码。

使用 <stdints.h> 和<inttype.h>

由于不同机器的字长（字长影响数据范围）不同，c语言在不同字长的机器上int的大小可能略有区别，考虑到可移植性，我们应该尽量使用c99标准库的<stdints.h和<inttype.h>中的类型。

int main(void)
{
    int16_t  x0 = 10;
    int32_t  x1 = 10000;
    int64_t  x2 = 1000000000000;
    printf("x0 : %d\n",x0);
    printf("x1 : %d\n",x1);
    printf("x2 : %" PRId64 "\n", x2);
    return 0;
}

需要注意的是输出int64_t的时候使用PRId64这是<inttype.h>中的一个宏。

有符号整数和无符号整数之间的转换

c语言中一旦操作符某一边出现了unsigned int那么都会被自动转换为unsigned int这种转换是隐式的不宜察觉，很多bug由此出现。应当了解具体的细节。
转换的时候，bit sequence是不会改变的，只是编译器对它的解释方式发生变化。

有符号->无符号

$$singned -> unsigned =\left\{ \begin{aligned} x + 2^{w},x < 0 \\ x,x >= 0 \end{aligned} \right.$$
看一个例子 ：

int x = -50;//signed
unsigned y = 1;
if(x > y)
    printf("ok\n");

程序输出为ok,这是因为if(x > y)这条语句，x是signed，y是unsigned，x会自动cast为unsiged，根据上边的公式可知，cast后必定大于1，所以会输出ok

无符号->有符号

$$unsingned -> signed =\left\{ \begin{aligned} x,x < 2^{w-1} \\ x - 2^{w},x >= 2^{w-1} \end{aligned} \right.$$
看一个例子 :

unsigned x = (1 << 31);
int y = x;
printf("x = %ud , y = %d\n",x,y);

x = 2147483648d , y = -2147483648

套用上述公式即可解释

整数二进制表示形式的扩展和截断

不同字节的整数转换是一种常见的操作。

无符号整数的扩展

对于w字长的无符号整数$[x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$假设变为$w+k$位，那么很简单的就是高位补k个0变为$[0,0,0,0,0..x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$,这种方式称为zero extension.

无符号整数的截断

假设我们不扩展无符号整数，由于某种特殊需求我们要截断它，对$[x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$w位比特串变为$[x_{k-1},x_{k - 2}.....x_{0}]$k位（即去掉最高的w-k位)，我们将会得到x mod $2^{k}$
证明 ：

$$[x_{w-1},x_{w-2},...x_{0}] mod 2^{k} \\ = [\sum_{i = 0}^{w-1}x_{i}2^{i}] mod 2^{k}\\\\ = [\sum_{i = 0}^{k-1}x_{i}2^{i}] mod 2^{k}\\\\ = \sum_{i = 0}^{k-1}x_{i}2^{i}\\\\ = [x_{k-1},x_{k-2},...x_{0}] mod 2^{k}$$

有符号整数的扩展

对于w字长的有符号整数$[x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$假设变为&w+k$位，那么很简单的就是最高位重复k次(再加上原来的最高位一共有k+1个x(w-1),变为$[x_{w-1},x_{w-1},x_{w-1},x_{w-1}x_{w-1},x_{w-2}…..x_{0}]$,这种方式称为sign extension.
下面我们证明 ：

$[x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$ ==$[x_{w-1},x_{w-1},x_{w-1},x_{w-1}x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$

只需要证明：

$[x_{w-1},x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$ =$[x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$即可

证明 ：

$[x_{w-1},x_{w-1},x_{w-2},…x_{0}] \ = -x_{w-1}2^{w} + \sum_{i = 0}^{w-1}x_{i}2^{i} \\ = -x_{w-1}2^{w} + x_{w-1}2^{w-1}+\sum_{i = 0}^{w-2}x_{i}2^{i}\\ = -x_{w-1}2^{w-1} + \sum_{i = 0}^{w-2}x_{i}2^{i}\\ = [x_{w-1},x_{w-1},x_{w-2},…x_{0}]$

有符号整数的截断

假设我们不扩展有符号整数，由于某种特殊需求我们要截断它，对$[x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$w位比特串变为$[x_{k-1},x_{k - 2}.....x_{0}]$k位（即去掉最高的w-k位，去掉了最高w-k位那么符号位就被去掉了)
所以 ：

(signed)$[x_{w-1},x_{w-2},...x_{0}]$

我们采用以下公式 ：
step 1 : res = x mod $2^{w}$
setp2 : res(unsigned) -> res(signed)
例如 ： $x = -7(1001)$,我们先将$1001$解释为unsigned得到$9$,截断一位即$9$ mod$2^{k},k = 3$得到$1$在将$unsigned(1)->signed()$仍然得到$1$,所以$-7$截断最高位后为$1$。
上述k表示的是截断后的比特串的长度。

整数的运算

整数的加法

无符号整数的加法

对于w字长的无符号整数$[x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$,表示的范围为$0 <= x < 2^{w}-1$ ，那么$x + y$的范围为$0 <= x < 2^{w + 1}-2$显然需要w+1位比特串来保存，所以加法会出现溢出的情况，实际上，机器内部进行了取余运算，所以 :

$$x + ^{u}_{w}y =\left\{ \begin{aligned} x + y,x + y < 2^{w} \\ x + y - 2^{w},2^{w} <= x + y < 2^{w+1} \end{aligned} \right.$$
我们可以用下列函数判断两个数相加是否溢出 ：

int unsigned_add_ok(unsigned x,unsigned y)
{
    unsigned sum = x + y;
    return (sum >= x) ? 1 : 0;
}

有符号整数的加法

$$x + ^{u}_{w}y =\left\{ \begin{aligned} x + y - 2^{w},x + y >=2^{w-1} \\ x + y,-2^{w-1} <= x + y < 2^{w-1}\\ x + y + 2^{w},x + y < -2^{w-1} \end{aligned} \right.$$
可以用下列函数判断两个有符号整数相加是否溢出:

int signed_add_ok(int x,int  y)
{
    int sum = x + y;
    if( x < 0 && y < 0 && sum > 0 )
        return 0;//negative overflow
    else if(x > 0 && y > 0 && sum < 0)
        return 0;//positive overflow
    return 1;
}

整数取反(减法相当于加相反数)

无符号整数

基于公式$(x + 2^{w} - x)$ mod $2^{w} = 2^{w}$ mod $2^{w}$ = 0
所以无符号整数取反将得到 ：

$$-^{u}_{w}x =\left\{ \begin{aligned} x ,x = 0 \\ 2^{w} - x,x > 0 \end{aligned} \right.$$

有符号整数

$$-^{u}_{w}x =\left\{ \begin{aligned} -x ,x > -2^{w-1} \\ -2^{w-1},x =-2^{w-1} \end{aligned} \right.$$
这个略微有些特殊假如说w = 3,$-2^{w-1}$表示为$100$那么只有再加上$100$才能得到$0000$表示0

整数乘法

无符号整数的乘法

对于w字长的无符号整数$[x_{w-1},x_{w-2}.....x_{0}]$,表示的范围为$0 <= x < 2^{w}-1$ ，那么$x + y$的范围为$0 <= x < 2^{2w}-2^{w+1} + 1$显然需要2w位比特串来保存，所以乘法会出现溢出的情况，实际上，这里机器内部仍然进行了取余运算，所以 :

$$x * ^{u}_{w}y = (x * y) module 2^{w}$$
可以用以下函数检验无符号整数相乘是否溢出：

int unsigned_multiply_ok(unsigned x,unsigned  y)
{
    unsigned product = x * y;
    if(x != 0 && product / x != y)
        return 0;
    return 1;
}

有符号整数的乘法

类似有符号整数的截断运算（因为乘法很有可能会超出范围）。
我们首先将有符号整数的比特序列解释为无符号整数，然后无符号整数相乘遵循 mod $2^{k}$的法则，得到的结果再解释为有符号整数即可。
例 ：
$x = [101] = -3$ 解释为unsigned得到$x = 5$
$y = [011] = 3$ 解释为unsigned得到$y = 3$
所以 ：
$x * y = 3 * 5 = 15(001111)$mod$2^{3} = 7(111)$解释为signed得到$-1$
可以用以下函数检验有符号整数相乘是否溢出

int signed_multiply_ok(int x,int  y)
{
    int product = x * y;
    if(x != 0 && product / x != y)
        return 0;
    return 1;
}//同unsigned_multiply_ok

乘以常量

乘法需要多条机器指令，比较慢。一般来讲编译器会使用左移和加减法指令来替换掉乘法指令。
这很简单 ：
$x * 14 = x * (8 + 4 + 2) = (x << 3) + (x << 2) + (x << 1)$
或者
$x * 14 = x * (16 - 2) = (x << 4) - (x << 1)$
$x * 55 = (64 - 8 - 1) = (x <<6) - (x << 3) - x$
诸如此类。

除以2的幂

除法操作更加耗时，不过没有很好的优化方式。当除以$2^k$这种形式的时候，编译器会将其优化为右移操作。
对于无符号整数，采用逻辑右移。
对于有符号整数，采用算术右移。
算术右移有些特殊，对于$-12340$我们看一个表：

k	算术右移k位	Decimal	/$2^{k}$
0	1100111111001100	-12340	-12340.0
1	1110011111100110	-6170	-6170.0
4	1111110011111100	-772	-771.25
8	1111111111001111	-49	-48.203125

可以看出，单纯这样除是不精确的值，为了使得结果正确，使用下列公式：

$$x /2^{k} =\left\{ \begin{aligned} x >> k ,x >= 0 \\ (x + 2^{k} - 1) >> k, x < 0 \end{aligned} \right.$$