[leetcode]Median of Two Sorted Arrays

题目：There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

分析：

方法来自http://blog.youkuaiyun.com/yutianzuijin/article/details/11499917/

该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。

证明也很简单，可以采用反证法。假设A[k/2-1]大于合并之后的第k小值，我们不妨假定其为第（k+1）小值。由于A[k/2-1]小于B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但实际上，在A中至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1个元素小于A[k/2-1]，所以小于A[k/2-1]的元素个数至多有k/2+ k/2-2，小于k，这与A[k/2-1]是第（k+1）的数矛盾。

当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。

当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；

代码：

class Solution {
public:
    double findKth(vector<int>& nums1,vector<int>& nums2,int k){
        int m=nums1.size();
        int n=nums2.size();
        if(m>n){
            return findKth(nums2,nums1,k);
        }
        if(m==0){
            return nums2[k-1];
        }
        if(k==1){
            return min(nums1[0],nums2[0]);
        }
        int pa=min(k/2,m);
        int pb=k-pa;
        if(nums1[pa-1]<nums2[pb-1]){
            vector<int> new_nums1(nums1.begin()+pa,nums1.end());
            return findKth(new_nums1,nums2,k-pa);
        }
        else if(nums1[pa-1]>nums2[pb-1]){
            vector<int> new_nums2(nums2.begin()+pb,nums2.end());
            return findKth(nums1,new_nums2,k-pb);
        }
        else{
            return nums1[pa-1];
        }
    }
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m=nums1.size();
        int n=nums2.size();
        int total=m+n;
        if(total&0x01){
            return findKth(nums1,nums2,total/2+1);
        }
        else{
            return (findKth(nums1,nums2,total/2)+findKth(nums1,nums2,total/2+1))/2.0;
        }
    }
};