同余方程（线性模方程）求解青蛙约会问题

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

    我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

 

class Triple
{
 
 Triple(long dd,long xx,long yy)
 {
  d=dd;
  x=xx;
  y=yy;
 }
 public long d;
 public long x;
 public long y;
}
class Congruence
{
 static long euclid(long big,long small)
 {
  if(small==0) return big; //递归出口， 即若  big%small==0，则下一步递归时 euclid(small,big%small=0), big和small的最大公约数为small
  return euclid(small,big%small);
 }
 static Triple extendedEuclid(long big,long small)  //  d=gcd(a,n)=ax+ny, 10%3=1,3%10=3;
 {
  if(small==0) return new Triple(big,1,0);// 递归出口, small=gcd(big,small)=gcd(small,big%small=0)=small=1*small+0*big
  // 即若  big%small==0，则 extendedEuclid(small,big%small=0)应该返回small，
  //且 small=gcd（big,small）=big*0+small*1, 因此
  else
  {
   Triple temp=extendedEuclid(small,big%small);
   Triple ntemp=new Triple(temp.d,temp.y,temp.x-(big/small)*(temp.y));
   return ntemp;
  }
  
  
  
  
 }
 static long coResidule(long a,long b,long n)
 {
  Triple res=extendedEuclid(n,a);// 先大后小
  if((b%res.d)==0)
   // 设对于a和n进行extended-euclid分解得到 d=nx’+ay'，这里较小的数a对应的系数是y而不是x！！！！！！！！
   return ((res.y)*(b/(res.d)))%n;     //  nx'+ay'=d，则 ay'~d， 所以ax=b的解是 y'b/d 
  else
   return 0;
 }
 
}
public final class Demo
{
    /**
     * (计算青蛙是够能够碰面,如果永远不能碰面返回Impossible,如果能够碰面,输出碰面所需要的跳跃次数)<br>
     *
     * @see 相关函数,对于重要的函数建议注释
     * @param params 参数数组,依次是x,y,m,n,L
     *
     */

    public static String judgeMeet(long[] params)
    {      
     if(params.length<5) return null;
     long bstart=params[0];
     long gstart=params[1];
     long bleap=params[2];
     long gleap=params[3];
     long n=params[4];
     //bstart+someday*bleap~gstart+someday*gleap,
     //即  (bstart-gstart)mod n=someday*(gleap-bleap);
     //因此等价于求同余方程ax~b
     long b=(bstart-gstart)%n;  // 同余概念下两个恋人相距的距离
     long a=(gleap-bleap)%n;
     if(a<0) a=a+n;
     if(b<0) b=b+n;
     long d=Congruence.euclid(n, a); //先大后小，否则结果错误
     long someday=Congruence.coResidule(a, b, n);
     if(someday==0) return "Impossible";
     someday%=n;
     if(someday<0) someday+=n;
     while(someday>n/d) someday-=n/d;
     String str=String.valueOf(someday);
     return str;
     
    }
}