青蛙的约会(POJ 1061 扩展欧几里德算法)

POJ 1061 青蛙的约会

扩展欧几里德算法简单介绍及应用

题目大意：

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙$A$和青蛙$B$，并且规定纬度线上东经$0$度处为原点，由东往西为正方向，单位长度$1$米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙$A$的出发点坐标是$x$，青蛙$B$的出发点坐标是$y$。青蛙$A$一次能跳$m$米，青蛙$B$一次能跳$n$米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长$L$米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

输入

输入只包括一行$5$个整数$x，y，m，n，L$，其中$x̸=y<2000000000$，$0<m$、$n<2000000000$，$0<L<2100000000$。

输出

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

样例输入

1 2 3 4 5

样例输出

4

青蛙要相遇，则他们走的总路程之差为总长的倍数

可列出如下公式

$(x+mt)-(y+nt)=kl$，$t$表示次数，$k$表示一个整数

可转换为如下方程

$(n-m)t+kl=x-y$

令$a=n-m,b=l,c=x-y$

则 $at+bk=c$等价于$ax+by=c$，可用扩展欧几里德算法求一组解,假设得到一组解为$(x_0,y_0)$，

所有的解可表示为$x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}\ast t$，$t$为任意整数

那么为了保证$x_0$最小，同时要为一个正数

因此此应该处理$(x_0\%\frac{b}{gcd(a,b)}+\frac{b}{gcd(a,b)})\%\frac{b}{gcd(a,b)}$

代码

#include <iostream>
#define ll long long 
using namespace std;

ll ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
	if(!b) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	ll ans = ex_gcd(b, a%b, x, y);
	ll t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y;
	return ans;
}

int main () {
	ll sx, sy, m, n, l, x, y, a, b, c;
	cin >> sx >> sy >> m >> n >> l;
	a = n - m;
	b = l;
	c = sx - sy;
	if(a < 0) {
		a = -a;
		c = -c;
	}
	ll d = ex_gcd(a, b, x, y);
	if(c % d) {
		cout << "Impossible";
		return 0; 
	}
	x *= c / d; 
	ll r = b / d;
	cout << (x % r + r) % r; //保证x最小
	return 0;
}