「BSOJ2316」最大的算式 - Dp

最新推荐文章于 2019-01-30 17:39:00 发布

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题目描述

题目很简单，给出N个数字，不改变它们的相对位置，在中间加入 $K$ 个乘号和 $N - K - 1$ 个加号，（括号随便加）使最终结果尽量大。因为乘号和加号一共就是 $N - 1$ 个了，所以恰好每两个相邻数字之间都有一个符号。例如：
$N = 5 ， K = 2 ， 5$ 个数字分别为 $1, 2, 3, 4, 5$ ，可以加成：
$1\times 2\times(3+4+5)=24\\ 1\times(2+3)\times(4+5)=45\\ (1\times2+3)\times(4+5)=45\\ \dots$

输入格式

输入文件共有两行，第一行为两个有空格隔开的整数，表示 $N$ 和 $K$ ，其中（ $2≤N≤15,0≤K≤N−12\le N\le 15, 0\le K\le N-1$ ）。第二行为 $N$ 个用空格隔开的数字（每个数字在 $0$ 到 $9$ 之间）。

输出格式

输出文件仅一行包含一个整数，表示要求的最大的结果。

样例输入

5 2
1 2 3 4 5

样例输出

120

样例解释

$(1+2+3)×4×5=120(1+2+3)\times4\times5=120$

分析

由于本题数据范围较弱，所以各种神仙算法都能过。

首先，看到本题，应该以下就能反应出来这是DP。其次，本题也有点像乘积最大，就试试那种方法。

定义 $f [i] [j]$ 为前 $i$ 个数字插入 $j$ 个乘号所取得的最大值，则很容易推导出状态转移方程：
$f[i][j]=\max_{j\le k < i} \{ f[k][j]+sum[i]-sum[k] ,f[k][j-1]\times(sum[i]-sum[k]) \}$
其中， $s u m [i]$ 表示前 $i$ 个数字的和。

还是讲讲这个方程吧。

在第 $k$ 个位置后可以插一个乘号，就是 $f[k][j−1]×(sun[i]−sum[k])f[k][j-1]\times(sun[i]-sum[k])$ ，而如果在第 $k$ 个位置后不插入乘号，就为 $f [k] [j] + s u m [i] - s u m [k]$ ，所以在取个最大值就转移到 $f [i] [j]$ 了。

由此，代码也不难得出。

代码

本蒟蒻的代码写得有点稀奇古怪，一开始没注意循环的顺序和状态的可能性，所以写出了 $5$ 重循环，但还是过了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#define inf 0x7fffffff/2
using namespace std;
int n,k,a;
long long f[20][20];
long long sum[20];
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a),sum[i]=sum[i-1]+a,f[i][0]=sum[i];
	for (int i=2;i<=n;i++)
	for (int j=1;j<=k;j++)
	for (int m=1;m<i;m++) {
	f[i][j]=max(f[i][j],f[m][j-1]*(sum[i]-sum[m]));
	for (int t=j;t<m;t++)
	for (int s=m+1;s<i;s++)
f[i][j]=max(f[i][j],f[t][j-1]+(sum[m]-sum[t])*(sum[s]-sum[m])+sum[i]-sum[s]);
			}
	printf("%lld",f[n][k]);
	return 0;
}

下面是某位神犇的代码。

#include<iostream>
using namespace std;
long long f[16][16],sum[16];
int main()
{
	int n,m,i,j,k;
	long long x;
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=n;i++) cin>>x,sum[i]=sum[i-1]+x,f[i][0]=sum[i];
	for(j=1;j<=m;j++)
	for(i=j+1;i<=n;i++)
	for(k=j;k<i;k++)
	{
		f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j-1]*(sum[i]-sum[k]));
		f[i][j]=max(f[i][j],f[k][j]+sum[i]-sum[k]);
	}
	cout<<f[n][m];
}