算法导论第三版代码python实现与部分习题答案-第四章：分治策略(二)

4.4 递归树

一、 对于幂函数的复习

证明：$3^{{\log }_{4}n}=n^{{\log }_{4}3}$

方法一：标准推导

$$3^{{\log }_{4}n}=3^{\frac{\ln n}{\ln 4}}\text{（换底公式：}{\log }_{4}n=\frac{\ln n}{\ln 4}\text{）}$$

$$={\left(3^{\frac{1}{\ln 4}}\right)}^{\ln n}\text{（幂的乘方法则：}{a}^{km}=(a^k{)}^m\text{）}$$

$$={\left(e^{\frac{\ln 3}{\ln 4}}\right)}^{\ln n}\text{（因为}{3}^{\frac{1}{\ln 4}}=e^{\frac{\ln 3}{\ln 4}}\text{）}$$

$$=e^{\frac{\ln 3}{\ln 4}\cdot \ln n}\text{（幂的乘方法则：}(a^k{)}^m=a^{km}\text{）}$$

$$=e^{\ln n\cdot \frac{\ln 3}{\ln 4}}\text{（乘法交换律）}$$

$$={\left(e^{\ln n}\right)}^{\frac{\ln 3}{\ln 4}}\text{（幂的乘方法则：}{a}^{km}=(a^k{)}^m\text{）}$$

$$=n^{\frac{\ln 3}{\ln 4}}\text{（指数还原：}{e}^{\ln n}=n\text{）}$$

$$=n^{{\log }_{4}3}\text{（换底公式：}\frac{\ln 3}{\ln 4}={\log }_{4}3\text{）}$$

方法二：对数验证法

设 $x=3^{{\log }_{4}n}$，两边取以4为底的对数：

$${\log }_{4}x={\log }_4(3^{{\log }_{4}n})=({\log }_{4}n)\cdot ({\log }_{4}3)\text{（对数的幂法则）}$$

$$=({\log }_{4}3)\cdot ({\log }_{4}n)\text{（乘法交换律）}$$

设 $y=n^{{\log }_{4}3}$，两边取以4为底的对数：

$${\log }_{4}y={\log }_4(n^{{\log }_{4}3})=({\log }_{4}3)\cdot ({\log }_{4}n)\text{（对数的幂法则）}$$

因为 ${\log }_{4}x={\log }_{4}y$，所以 $x=y$，即：$3^{{\log }_{4}n}=n^{{\log }_{4}3}$

幂对换公式的一般形式

$$a^{{\log }_{b}n}=n^{{\log }_{b}a}\text{（条件：}a>0,a\ne 1,b>0,b\ne 1,n>0\text{）}$$

[!IMPORTANT]

常用公式回顾

$${\log }_{a}b=\frac{\log b}{\log a}=\frac{\ln b}{\ln a}\text{（换底公式）}$$

$${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c={\log }_{a}c\text{（对数的连乘）}$$

$$a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}\text{（幂对换公式）}$$

$${\log }_a(b^c)=c\cdot {\log }_{a}b\text{（对数的幂法则）}$$

$$a^{k\cdot m}=(a^k{)}^m\text{（幂的乘方法则）}$$

二、数列求和相关
$$T(n)=c{n}^2+\frac{3}{16}c{n}^2+{\left(\frac{3}{16}\right)}^{2}c{n}^2+\cdots +{\left(\frac{3}{16}\right)}^{{\log }_{4}n-1}c{n}^2+\Theta (n^{{\log }_{4}3})$$

$$=\sum _{i=0}^{{\log }_{4}n-1}{\left(\frac{3}{16}\right)}^{i}c{n}^2+\Theta (n^{{\log }_{4}3})\text{/* 写成等比数列求和的形式 */}$$

$$<\sum _{i=0}^{\infty }{\left(\frac{3}{16}\right)}^{i}c{n}^2+\Theta (n^{{\log }_{4}3})\text{/* 用无穷级数和估计有限级数和，上界分析 */}$$

$$=\left(\sum _{i=0}^{\infty }{q}^i\right)c{n}^2+\Theta (n^{{\log }_{4}3}),q=\frac{3}{16}\text{/* 设q=163，便于套用公式 */}$$

$$=\frac{1}{1-q}c{n}^2+\Theta (n^{{\log }_{4}3})\text{/* 等比无穷级数求和公式：∑i=0∞qi=1−q1，∣q∣<1 */}$$

$$=\frac{16}{13}c{n}^2+\Theta (n^{{\log }_{4}3})\text{/* 代入q的值，1−q=1−163=1613 */}$$

$$=O(n^2)\text{/* n2项主导，渐进上界符号表示 */}$$

[!IMPORTANT]
$$\sum _{i=0}^k{q}^i=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}$$

无穷等比数列求和公式
无穷等比数列指的是首项为 $a$，公比为 $q$，项数无限的数列：
$$a,aq,a{q}^2,a{q}^3,\dots$$

若 $|q|<1$，无穷等比数列的和为：
$$S=a+aq+a{q}^2+a{q}^3+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }a{q}^i=\frac{a}{1-q}$$

其中：

• $a$ 为首项
• $q$ 为公比（$|q|<1$）

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推导过程：

设 $S=a+aq+a{q}^2+a{q}^3+\cdots$

将 $S$ 两边同时乘以 $q$：
$$qS=aq+a{q}^2+a{q}^3+\cdots$$

两式相减：
$$\begin{gathered} S-qS=a \\ S(1-q)=a \\ S=\frac{a}{1-q} \end{gathered}$$

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注意：

• 只有当 $|q|<1$ 时，级数才收敛，有和公式。
• 若 $|q|\ge 1$，级数发散，无和。

设无穷等比级数的部分和为 $S_n=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^n=a\cdot \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$（$q\ne 1$）

当 $|q|<1$，$q^{n+1}\to 0$，所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a}{1-q}$，极限存在，级数收敛。

当 $|q|>1$，$|q^{n+1}|\to \infty$，$S_n$ 不存在有限极限，级数发散。

当 $q=1$，$S_n=a(n+1)\to \infty$，级数发散。

当 $q=-1$，SnS_n