[BZOJ3295] [Cqoi2011]动态逆序对 && CDQ分治

最新推荐文章于 2020-07-12 14:47:32 发布

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CDQ分治

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本文介绍了一种基于CDQ分治的算法实现方法，通过将每个点视为三元组来处理逆序对问题，避免了传统树状数组清空带来的效率问题。文章详细解释了如何通过维护删除序列及时间轴来解决逆序对重复计数的问题，并提供了一个完整的C++代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

CDQ跑的比分治快得多

首先我们可以把每一个点看成一个三元组(x, y, z) x 表示它当前的值 y 表示的在序列中的编号 z 表示它的时间即第z次操作后的这个点

所以如果某个点P在平面上的左上方有点(值小于P并且位置在P之后) 后者右下方(恰好相反)的地方有点就会形成一个逆序对

在一开始我们很容易求出每一个点形成的逆序对总数每次删除的时候从ans中减去

然而在CDQ分治的过程中树状数组需要多次使用每次清空需要耗费大量时间这个时候我们加入一个时间轴只有在当前时间的点才进行统计这样就避免了清空的操作节省了时间

还有一个问题每次一个点x删除时会减去他的逆序对(x, y) y删除的时候也同样会减去这样就重复了要怎样处理这样的问题呢？

我们将已经删除的元素看作一个删除序列定义d[i]为删除该元素后删除序列中新增的逆序对的个数这就是减重复了的个数每次删除一个数过后ans要加上d[i]；

这样每一个删除操作都成为了一个三元组(x, y, id) 我们可以用CDQ根据id排序但是还剩下两位处理的时候会有困难所以我们把整个序列按y排序这样就可以了

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<map>
#define lowbit(x) ((x) & (-(x)))
#define SF scanf
#define PF printf
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 100000;
int cnt[MAXN+10], A[MAXN+10], idx[MAXN+10], c[MAXN+10], tim[MAXN+10]; // tim 节约每次删除树状数组的时间 cnt 计算某个数形成的逆序对数量
int d[MAXN+10];
int n, m, tot;
LL ans;
struct Node {
    int x, y, id; // y 原序列位置 x 现在的值
    bool operator < (const Node &t) const {
        return y < t.y;
    }
} q[MAXN+10], tmp[MAXN+10];
void add(int x, int f) { // f = -1 询问前方 f = 1 询问后方
    for(; x <= n && x; x += lowbit(x) * f) {
        if(tim[x] != tot) c[x] = 0, tim[x] = tot;
        c[x]++;
    }
}
int query(int x, int f) {
    int ret = 0;
    for( ; x && x <= n; x += lowbit(x) * f) 
        if(tim[x] == tot)
            ret += c[x];
    return ret;
}
void CDQ(int L, int R) {
    if(L == R) {
        PF("%lld\n", ans);
        ans -= cnt[q[L].y];
        ans += d[L];
        return ;
    }
    int mid = (L+R) >> 1, l1, l2;
    l1 = L; l2 = mid+1;
    for(int i = L; i <= R; i++) 
        if(q[i].id <= mid) tmp[l1++] = q[i];
        else tmp[l2++] = q[i];
    for(int i = L; i <= R; i++) q[i] = tmp[i];
    CDQ(L, mid);
    tot++;
    int j = L;
    for(int i = mid+1; i <= R; i++) {
        while(j <= mid && q[j].y < q[i].y) {
            add(q[j].x, -1); 
            j++;
        }
        d[q[i].id] += query(q[i].x, 1);
    }
    tot++; j = mid;
    for(int i = R; i > mid; i--) {
        while(j >= L && q[j].y > q[i].y) {
            add(q[j].x, 1);
            j--;
        }
        d[q[i].id] += query(q[i].x, -1);
    }
    CDQ(mid+1, R);
    l1 = L; l2 = mid+1;
    for(int i = L; i <= R; i++) 
        if(l1 <= mid && (l2 > R || q[l1] < q[l2])) tmp[i] = q[l1++];
        else tmp[i] = q[l2++];
    for(int i = L; i <= R; i++) q[i] = tmp[i];
}
int main() {
    SF("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        SF("%d", &A[i]); idx[A[i]] = i;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        cnt[i] = query(A[i], 1);
        add(A[i], -1);
        ans += cnt[i];
    }
    tot++; // 时间轴移动 防止重复统计
    for(int i = n; i; i--) {
        cnt[i] += query(A[i], -1);
        add(A[i], 1);
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++) {
        SF("%d", &q[i].x); q[i].y = idx[q[i].x];
        q[i].id = i;
    }
    sort(q+1, q+1+m);
    CDQ(1, m);
}