拉普拉斯变换

定义

• 一个信号的拉普拉斯变换定义如下
  $$X(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-st}dt$$
  当$s=jw$时,就是$x(t)$的傅里叶变换,即
  $$X(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-jwt}dt$$
• 左边信号:若在某有限时间$T_1$以后,$x(t)=0$,则称该信号为左边信号
  右边信号:若在某有限时间$T_1$之前,$x(t)=0$,则称该信号为右边信号
  双边信号:对$t>0$和$t<0$都具有无限范围的信号

拉普拉斯变换收敛域

• $X(s)$的收敛域在$s$平面内由平行于$jw$的带状区域所组成.
• 对有理拉普拉斯变换来说,收敛域内不包括任何极点
• 如果$x(t)$是有限持续期,并且是绝对可积的,那么收敛域就是整个$s$平面
• 如果$x(t)$是右边信号,并且$Re{s}=\sigma_0$这条线位于收敛域内,那么$Re{s}>\sigma_0$的全部$s$值一定都在收敛域内.
• 如果$x(t)$是左边信号,并且$Re{s}=\sigma_0$这条线位于收敛域内,那么$Re{s}<\sigma_0$的全部$s$值一定都在收敛域内.
• 如果$x(t)$是双边信号,并且$Re{s}=\sigma_0$这条线位于收敛域内,那么收敛域就一定由$s$平面的一条带状区域组成,直线$Re{s}=\sigma_0$位于带中.
• 如果$x(t)$的拉普拉斯变换$X(s)$是有理的,那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远.另外,在收敛域内不包含$X(s)$的任何极点
• 如果$x(t)$的拉普拉斯变换$X(s)$是有理的,那么若$x(t)$是右边信号,则其收敛域在$s$平面上位于最右边极点的右边;若$x(t)$是左边信号,则其收敛域在平面上位于最左边极点的左边