【分析学】 连续性的概念辨析

函数的连续性、一致连续性、Lipschitz 连续性、Hölder 连续性以及绝对连续性是数学分析中函数光滑性的不同概念，它们在强度、应用场景和相互关系中各有不同。以下逐一辨析：

数学分析

连续性（点态连续）

设 $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$x_0\in D$，若
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0),$$
则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。若 $f$ 在 $D$ 中每一点都连续，则称 $f$ 在 $D$ 上连续。

可微性

设 $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$，$x_0\in \mathrm{int}D$，若存在 $g\in \mathbb{R}$,
$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{F(x)-F(x_0)-g\cdot (x-x_0)}{|x-x_0|}=0$$
则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微。若 $f$ 在 $D$ 的内部中每一点都可微，则称 $f$ 在 $D$ 上可微。

一致连续性

设 $f:D\to \mathbb{R}$，若对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对任意 $x_1,x_2\in D$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$，则称 $f$ 在 $D$ 上一致连续。

重要定理

闭区间的上连续函数满足一致连续性。

例子辨析

$(0,1)$ 上 $f(x)=\frac{1}{x}$ 是连续函数，但不是一致连续函数。

$Lipschitz$ 连续性

设 $f:D\to \mathbb{R}$，若存在常数 $L>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in D$，
$$|f(x_1)-f(x_2)|\le L|x_1-x_2|,$$
则称 $f$ 在 $D$ 上满足 $Lipschitz$ 条件，$L$ 称为 $Lipschitz$ 常数。（也称为局部 $Lipschitz$ 连续性），当 $D=\mathbb{R}$ 称为全局 $Lipschitz$ 连续。

例子辨析

$[0,1]$ 上 $y=\sqrt{x}$ 是一致连续的但不是 $Lipschitz$ 连续的。 不妨设 $0\le x_1<x_2\le 1$, 则
$\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}\le \sqrt{x_2-x_1}$,
取 $\delta ={\epsilon }^2$, 则有

$\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}\le \sqrt{x_2-x_1}<\sqrt{\delta }=\epsilon$,

定理

Lipschitz 连续函数则满足一致连续性， 只需取 $\delta =\frac{\epsilon }{L}$。

$H\ddot{o}lder$ 连续性

设 $f:D\to \mathbb{R}$，若存在常数 $\alpha \in (0,1]$ 和 $H>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in D$，
$$|f(x_1)-f(x_2)|\le H|x_1-x_2{|}^{\alpha },$$
则称 $f$ 在 $D$ 上是 $H\ddot{o}lder$ 连续的，指数为 $\alpha$。

为何 $\alpha$ 不能大于1?
$f:D\to \mathbb{R}$，若存在常数 $\alpha >1$ 和 $H>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in D$，
$$|f(x_1)-f(x_2)|\le H|x_1-x_2{|}^{\alpha },$$
则
$$f^{\prime }(x_2)=\underset{x_1\to x_2}{\lim }\frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|}\le H\underset{x_1\to x_2}{\lim }|x_1-x_2{|}^{\alpha -1}=0,$$
由于 $x_2$ 的任意性， 导数处处为0，则 $f$ 只能是常值函数。因此当 $\alpha >1$ $H\ddot{o}lder$ 连续只有常值函数满足因此缺乏广泛性。

例子辨析

• 函数 $f(x)=\frac{1}{\ln x}$ 在区间 $(0,0.5]$ 上一致连续但不是 $H\ddot{o}lder$ 连续。

定理

• $H\ddot{o}lder$ 连续函数满足一致连续性。 只需取 $\delta ={\left(\frac{\epsilon }{H}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}$ 即可.
• $Lipschitz$ 连续函数则满足 $H\ddot{o}lder$ 连续性。$\alpha =1$, $H=L$.

实变函数

绝对连续性

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$，若对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对任意有限个互不相交的开子区间 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots ,(a_n,b_n)\subset [a,b]$，只要
$$\sum _{i=1}^n(b_i-a_i)<\delta ,$$
就有
$$\sum _{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|<\epsilon ,$$
则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上绝对连续。绝对连续函数是推出勒贝格可积的重要概念。

几乎处处连续性

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, 若对 $x\in [a,b]$ 不满足的连续性的点构成的集合 $E$ 满足测度 $\mu (E)=0$， 则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上的几乎处处连续。

几乎处处可微

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, 若对 $x\in [a,b]$ 不满足的可微性的点构成的集合 $E$ 满足测度 $\mu (E)=0$， 则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上的几乎处处可微。

关系图汇总