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$A\in \mathbb{R}^{m\times n}, b\in \mathbb{R}^m $. 当。

【代码】[Julia] 稀疏数组。

Julia 语言有限存储列向量， 占用空间少速度快。

SVD（Singular Value Decomposition，奇异值分解）是线性代数中的一种矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：一个正交矩阵、一个对角矩阵和一个正交矩阵的转置。具体来说，对于任意一个m×nm \times nm×n的矩阵AAAAUΣVTA = UΣV^TAUΣVTUUU是一个m×mm \times mm×m的正交矩阵，其列向量称为左奇异向量。ΣΣΣ是一个m×nm \times nm×n。

矩阵乘法是线性代数中的一个基本运算。假设我们有两个矩阵A和B，矩阵A的维度是m×n，矩阵B的维度是n×p，那么矩阵A和B的乘积C将是一个m×p维度的矩阵。矩阵乘法的数学定义如下：矩阵C的每个元素cij​是由矩阵A的第i行和矩阵B的第jcij​ai1​b1j​ai2​b2j​⋯ain​bnj​其中，1≤i≤m1≤j≤p。具体来说，假设矩阵AA⎝⎜⎜⎜⎛​a1。

一组向量被称为线性无关，如果其中没有任何一个向量可以表示为其他向量的线性组合， 例如α1∑i2nkiαiα1​∑i2n​ki​αi​。矩阵的行向量组和列向量组给定一个m×nm \times nm×n矩阵AAA，它包含mmm个行向量和nnn个列向量。极大线性无关组在一组向量中，极大线性无关组是指包含最多线性无关向量的子集。添加任何额外的向量都会使该组变得线性相关。矩阵AAA。

列主元方法是一种用于求解矩阵逆的数值方法，特别适用于在计算机上实现。其基本思想是通过高斯消元法将矩阵转换为上三角矩阵，然后通过回代求解矩阵的逆。以下是列主元方法求解矩阵A构造增广矩阵A∣I，其中I是n阶单位矩阵。对于第k列（k12n），找到列主元，即找到ik​∣aik​k​∣i≥kmax​∣aik​∣如果ik​k，则交换第k行和第ik​行。对于每一列kk12n−1kakk​←akk​。

考虑线性方程组， 已知A∈Rnnb∈Rn， 求未知x∈RnA11​x1​A12​x2​⋯A1n​xn​b1​A21​x1​A22​x2​⋯A2n​xn​b2​⋯An1​x1​An2​x2​⋯Ann​xn​bn​也可以写为矩阵乘法的形式，Axb。

对于任意一个n×n的方阵A，其行列式∣A∣∣A∣∣AT∣其中，AT是A的转置矩阵。

detAi1​i2​⋯in​∑​−1σi1​⋯in​a1i1​​a2i2​​⋯anin​​i1​⋯in​是1⋯n的排列.计算复杂度On⋅n!12的全排列如下1221a11​a21​​a12​a22​​123的全排列如下123132213231312321​a11​a21​a31​​a1。