递归算法的时间复杂度

关于算法估计：注意这个c是一个positive constants，可以由我们选择，但必须是常数

第二个要注意的地方是：运用代入法的时候，我们必须要在结论中证明出和归纳假设严格一致的形式，比如我们假设T(n)=nlgn,那么我们最后必须要能证明出T(n)<=cnlogn(c为常数)，如果证明出T(n)<=cnlogn+n是不能说明归纳假设正确的

 　　【代入法】代入法首先要对这个问题的时间复杂度做出预测，然后将预测带入原来的递归方程，如果没有出现矛盾，则是可能的解，最后用数学归纳法证明。

　　【举   例】我们有如下的递归问题：T(n)=4T(n/2)+O(n)，我们首先预测时间复杂度为O(n²),不妨设T(n)=kn²（其中k为常数），将该结果带入方程中可得：左=kn²，右=4k(n/2)²+O(n)=kn²+O(n),由于n²的阶高于n的阶，因而左右两边是相等的，接下来用数学归纳法进行验证即可。

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 　　【迭代法】迭代法就是迭代的展开方程的右边，直到没有可以迭代的项为止，这时通过对右边的和进行估算来估计方程的解。比较适用于分治问题的求解，为方便讨论起见，给出其递归方程的一般形式：

　　【举   例】下面我们以一个简单的例子来说明：T(n)=2T(n/2)+n²,迭代过程如下：

　　容易知道，直到n/2^(i+1)=1时，递归过程结束，这时我们计算如下：

　　到这里我们知道该算法的时间复杂度为O(n²)，上面的计算中，我们可以直接使用无穷等比数列的公式，不用考虑项数i的约束，实际上这两种方法计算的结果是完全等价的，有兴趣的同学可以自行验证。