非线性方程解法

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已于 2022-11-10 23:06:13 修改 · 2.3k 阅读

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#算法 #线性代数

于 2022-11-09 23:43:47 首次发布

背景：一般线性方程如 $y=x+1$ ,给出某个 $x$ 便可得到某个·确定的数值 $y$ ,给出某个 $y$ 也可轻松得到 $x$ ，但是对于非线性方程来说则较为麻烦。（线性方程就是最高次数为1的方程，图像是一条直线一样，非线性就是曲线，最高次数大于1）

如 $y=x^3-x-1$ ,给出 $y=2$ ,想求出 $x$ 就比较麻烦了。但我们有计算机，可以借助计算机来求解。

定理1：根的存在性定理：若函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上连续，且 $f(a),f(b)$ 异号(一正一负），则存在一个 $m\epsilon (a,b)$ , $f(m)=0$ .

方法1：以 $y=x^3-x-1$ 为例，若 $y=2$ ,即求 $x^3-x-1=2$ 的解。

调整一下方程，即求 $x^3-x-3=0$ 的解，设 $f(x)=x^3-x-3$ ,也就说我们要求 $f(x)=0$ 的解。

简单带入 $x=1,f(1)=-3,x=2,f(2)=3$ ,那么根据定理，在区间 $(1,2)$ 上，就有一个点可以使得 $f(x)=0$ ,这个点也就是我们要求的点

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