85、干扰二元混合物中的聚类现象

最新推荐文章于 2025-10-16 12:25:48 发布

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干扰二元混合物中的聚类现象

1. 引言

胶体是两种分子的混合物，其中一种分子悬浮在另一种分子中。当每种分子的密度较低时，混合物是均匀的，具有适合许多工业应用的特性，如雾、凝胶、食品、油漆和照相乳剂等。而当密度较高时，两种分子会分离，其中一种分子似乎会聚集在一起。这种行为与其他离散模型（如Ising模型和Potts模型）中的相变类似，但胶体中两种分子之间没有焓力导致同类粒子相互吸引或不同类粒子相互排斥，其行为纯粹是熵驱动的，唯一的限制是“硬核”约束，即物体必须保持不重叠的位置。在高密度下发生聚类是因为平稳分布中的绝大多数构型都表现出这种分离。

然而，对胶体行为的严格研究较少，模拟也具有挑战性，因为局部算法在高密度下收敛缓慢。尽管Dress和Krauth引入的算法在实践中表现良好，但在某些情况下仍需要与分子数量成指数关系的时间。Buhot和Krauth的模拟为不同大小正方形组成的胶体模型中存在两个不同相提供了有力的启发式证据。

Frenkel和Louis研究的离散胶体模型（Model 1）与Ising模型相关，该模型由$Z^2$区域中的单位正方形和位于晶格边上的面积为1/2的菱形组成，其中正方形的密度固定磁化强度，菱形的密度决定温度。Ising模型在低温下会出现正自旋的聚类，Model 1继承了Ising模型的相变，在高密度下会出现聚类。本文使用基本方法研究一大类自然胶体模型中的聚类现象，直接根据模型参数来表征聚类，以区分高低密度相，并理解每种分子密度的作用。

1.1 干扰二元混合物模型

考虑一类干扰二元混合物，设$(\Lambda_A, \Lambda_B)$是一对平面晶格，使得$\Lambda_A$的一个面和$\Lambda_B$的一个面要么不相交，要么在单个顶点处相交，要么在一个与具有非零面积的固定形状$s$同构的单连通区域相交。例如，在Model 1中，$\Lambda_A$是笛卡尔晶格$Z^2$，$\Lambda_B$是由$Z^2$中的边平分的菱形集合，$s$是底为1、高为1/2的等腰三角形。

我们考虑这些晶格与某个有限区域$L$的交集，其中$L_A = \Lambda_A \cap L$，$L_B = \Lambda_B \cap L$。给定一组瓷砖，A - 瓷砖位于$L_A$的面上，B - 瓷砖位于$L_B$的面上，且瓷砖不能重叠。

通常会从固定每种类型瓷砖数量的模型切换到所谓的巨正则系综，但在高密度下，典型构型会主要包含一种类型的瓷砖，而我们感兴趣的平衡构型出现的概率极小。因此，我们固定A - 瓷砖的数量，允许B - 瓷砖随机变化。每个构型$\sigma$的权重与$\lambda^{d(\sigma)}$成正比，其中$d(\sigma)$是$\sigma$中B - 瓷砖的数量，$\lambda$的选择控制B - 瓷砖的预期密度。

1.2 研究目标与方法

我们的目标是根据每种类型瓷砖的（预期）密度来理解何时会发生聚类。首先定义瓷砖构型的聚类属性，非正式地说，如果在$\Lambda_A$中存在一个面积为$\Omega(n^2)$且周长为$O(n)$的密集区域$R$，则认为存在聚类。

主要定理表明，高密度的干扰二元混合物具有聚类属性，而低密度时则没有。证明的关键工具是Peierls论证，它在统计物理学中用于研究吉布斯态的唯一性和相变，在计算机科学中用于研究马尔可夫链的缓慢混合。为了处理多个轮廓，我们引入了桥系统的概念，通过连接组件来高效编码移除的所有轮廓的边界。

2. 二元混合物与聚类属性

2.1 干扰二元混合物的形式化

给定常数$\lambda > 1$和$0 < b < 1/2$（其中$b|L_A| \in Z$），定义$\Omega = \Omega(b, \lambda)$为$L$的非重叠填充集合，其中包含$b|L_A|$个A - 瓷砖和任意数量的B - 瓷砖。我们研究分布$\pi(\rho) = \lambda^{d(\rho)}/Z$，其中$d(\rho)$是$\rho$中B - 瓷砖的数量，$Z = \sum_{\rho \in \Omega} \lambda^{d(\rho)}$是归一化常数。

在Model 1中，给定$\Omega$中的构型$\rho$，通过移除其所有B - 瓷砖（菱形）得到正方形结构$\Gamma(\rho)$。考虑所有具有$bn^2$个A - 瓷砖（正方形）的正方形结构集合$\tilde{\Omega}$，以及$\tilde{\Omega}$上的诱导分布$\tilde{\pi}$。对于$\Omega$或$\tilde{\Omega}$中的$\sigma$，定义其周长为恰好属于一个A - 瓷砖的边，记为$\kappa(\sigma)$，并定义$e(\sigma)$为不与任何A - 瓷砖相邻的边的数量。可以得到：
[
\tilde{\pi}(\sigma) = \sum_{k = 0}^{e(\sigma)} \frac{\lambda^k}{Z} \binom{e(\sigma)}{k} = \frac{1}{Z} (1 + \lambda)^{e(\sigma)} = \frac{(1 + \lambda)^{2n^2 - 2bn^2} \mu^{\kappa(\sigma)}}{Z}
]
其中$\mu = (1 + \lambda)^{-\frac{1}{2}}$。这表明正方形结构的总周长完全决定了其在$\Omega$中出现的概率，直接意味着与Ising模型的等价性：如果$L_n$的一个面$f$上有A - 瓷砖，则赋予正自旋，否则赋予负自旋。由于构型的权重由$L_n$中具有相反自旋的边的数量精确决定，这就是具有固定正自旋数量的Ising模型，即固定磁化强度。

2.2 聚类属性的定义

直观上，如果一个构型中有一个充满A - 瓷砖的大区域，则该构型具有聚类属性。更精确地，设区域$R$是$L_n$中的任意一组面，其周长$\kappa(R)$是与$R$中的面和$R = L_n \setminus R$中的面相邻的边的数量。令$c = \min{\frac{b}{2}, \frac{1}{100}}$。

定义1 ：如果构型$\sigma \in \Omega$（或$\Gamma(\sigma) \in \tilde{\Omega}$）包含一个满足以下属性的区域$R$，则称其具有聚类属性：
1. $R$包含至少$(b - c)n^2$个A - 瓷砖。
2. $R$的周长至多为$8\sqrt{b}n$。
3. $R$中A - 瓷砖的密度至少为$1 - c$，而$R$中A - 瓷砖的密度至多为$c$。

如果一个构型具有聚类属性，它包含一个高密度的$n^{\frac{1}{3}} \times n^{\frac{1}{3}}$窗口和一个低密度的窗口，这体现了构型的不均匀性。

2.3 主要结果

我们证明了以下定理：
- 定理1 ：对于$0 < b \leq \frac{1}{2}$，存在常数$\lambda^ = \lambda^ (b) > 1$，$\gamma_1 < 1$和$n_1 = n_1(b)$，使得对于所有$n > n_1$，$\lambda \geq \lambda^ $，从$\Omega$中随机抽取的样本具有聚类属性的概率至少为$(1 - \gamma_1n)$。
- 定理2 ：对于$0 < b < \frac{1}{2}$，存在常数$\lambda^ = \lambda^ (b) > 0$，$\gamma_2 < 1$和$n_2 = n_2(b)$，使得对于所有$n > n_2$，$\lambda \leq \lambda^ $，从$\Omega$中随机抽取的样本不具有聚类属性的概率至少为$(1 - \gamma_2n)$。

此外，从证明中可以得出，在低密度下，如果一个密集区域$R’$的面积为$\Omega(n^2)$，则其周长必须为$\Omega(n^2)$。当$b > \frac{1}{2}$时，通过A - 瓷砖与空空间的对称性可以得到类似的结果。

由于聚类只是A - 瓷砖的属性，因此只需对仅涉及A - 瓷砖的加权正方形结构$\tilde{\Omega}$证明定理1和定理2。从这一点开始，我们专注于$\tilde{\Omega}$，并将A - 瓷砖简称为瓷砖。

3. 高B - 瓷砖密度下的聚类

3.1 证明思路

为了证明定理1，我们定义$\Psi \subset \tilde{\Omega}$为具有聚类属性的构型集合，然后证明$\tilde{\pi}(\tilde{\Omega} \setminus \Psi) \leq \gamma_1^n \tilde{\pi}(\Psi)$，其中$\gamma_1 < 1$。为此，我们应用Peierls论证，定义一个映射$f: \tilde{\Omega} \setminus \Psi \to \Psi$，并证明对于所有$\tau \in \Psi$，有$\sum_{\sigma \in f^{-1}(\tau)} \tilde{\pi}(\sigma) \leq \gamma_1^n \tilde{\pi}(\tau)$。

给定构型$\sigma \in \tilde{\Omega} \setminus \Psi$，映射$f$移除$\sigma$中的一大组瓷砖$T$，并将它们重新组装成$f(\sigma)$中的一个大组件，这会显著降低构型的总周长，因此$\tilde{\pi}(f(\sigma))$比$\tilde{\pi}(\sigma)$大得多。挑战在于通过仔细编码$\tau$的原像来限制映射到给定$\tau \in \Psi$的构型数量。

3.2 相关定义

相邻瓷砖 ：如果两个瓷砖的边界共享一条边，则称它们相邻。
组件：是瓷砖的最大连通集。
轮廓：是$\sigma$周长的最大连通段。
桥系统 ：设$B$是$L_n$中连接某些轮廓子集$S$到$L_n$边界的一组边，称$B$为一组桥，$S$为一组桥接轮廓。如果$L_n$中的一个单元格或瓷砖不被桥接轮廓所包围，则称其为未桥接的。如果未桥接瓷砖的数量至多为未桥接单元格数量的$c$倍，且$|B| \leq \frac{1 - c}{2c} \kappa(S)$，则$(B, S)$是$\sigma \in \tilde{\Omega}$的$c$ - 桥系统。

3.3 构建桥系统

考虑没有带孔组件的情况，假设$B$是连接某些轮廓子集$S$到$L_n$边界的边集。如果$\sigma$有带孔组件，则先为通过填充所有孔得到的$\sigma’$构建$c$ - 桥系统，然后为每个桥接轮廓$X$内的区域构建$c$ - 桥系统，递归直到为每个桥接轮廓在每个递归级别都获得$c$ - 桥系统。

引理1 ：对于任何构型$\sigma \in \tilde{\Omega}$，存在一个$c$ - 桥系统。
证明：我们可以假设$\sigma$没有孔，否则按上述方法递归处理。现在对$R$中的轮廓数量进行归纳。如果没有轮廓，则显然$(\varnothing, \varnothing)$是$R$的$c$ - 桥系统。否则，定义$t(R)$为$R$中的瓷砖数量，$x(R)$为$R$中的空单元格数量。设$H$是通过$R$的水平线集合。对于每个$H \in H$，如果$|t(R) \cap H| < c|R \cap H|$，则$(\varnothing, \varnothing)$是$R$的$c$ - 桥系统。否则，存在一条水平线$H$使得$|t(R) \cap H| \geq c|R \cap H|$。令$B$为$H \cap R$中每个外部单元格的底边集合，$S$为在这一步连接的轮廓集合。我们知道$\kappa(S) \geq 2|t(R) \cap H| \geq 2c |R \cap H| \geq \frac{2c}{1 - c}|x(R) \cap H|$，所以$|B| \leq \frac{1 - c}{2c} \kappa(S)$。通过移除$S$中轮廓所包围的单元格得到$R’$，根据归纳假设，$R’$存在一个$c$ - 桥系统$(B’, S’)$。则$\tilde{B} = B \cup B’$是连接$\tilde{S} = S \cup S’$中轮廓彼此以及到$R$边界的一组桥，且$|\tilde{B}| \leq \frac{1 - c}{2c} \kappa(\tilde{S})$，未桥接瓷砖的数量至多为未桥接单元格数量的$c$倍。因此，$(\tilde{B}, \tilde{S})$是$R$的$c$ - 桥系统。

3.4 寻找稀疏区域

引理2 ：对于$(b - c)n^2 \leq a < bn^2$，存在常数$n_3 = n_3(b)$，使得对于所有$n \geq n_3$，如果$\rho$是一个至多有$cn^2$个瓷砖的构型，则$\rho$包含一个大致为正方形的区域$R’$，使得补全$R’$需要$a$个额外的瓷砖，且总周长的变化至多为$5\sqrt{a}$。
证明：给定区域$R$，令$d(R)$表示补全$R$所需的瓷砖数量，即$R$的面积减去$R$中瓷砖数量的两倍。设$l = \lceil \sqrt{\frac{8a}{7}} \rceil$。首先证明存在一个$l \times l$的正方形$R$使得$d(R) \geq a$。假设不存在这样的正方形，将网格划分为$\lfloor \frac{n}{l} \rfloor^2$个边长为$l$的不相交正方形。对于任何正方形，设其中的瓷砖数量为$t$，空体积至少为$l^2 - t$。根据假设，每个正方形满足$l^2 - t < t + a$，所以$t > \frac{l^2 - a}{2}$。特别地，$\frac{8a}{7} \leq l^2 < a + 2cn^2$，因此可以假设$a < 14cn^2$，这意味着$l \leq \sqrt{\frac{8a}{7}} + 1 \leq 1 + 4\sqrt{cn}$。然而，如果$T$是瓷砖的总数，有$cn^2 \geq T > \lfloor \frac{n}{l} \rfloor^2 \frac{l^2 - a}{2} \geq \frac{n^2}{2} (1 - \frac{l}{n})^2 (1 - \frac{a}{l^2}) > n^2 (1 - \frac{1}{n} - 4\sqrt{c})^2 \frac{1}{16} \geq cn^2$，由于$c \leq \frac{1}{65}$且$n \geq n_3$，这是一个矛盾。因此，存在一个$l \times l$的正方形$R$使得$d(R) \geq a$。从$R$的底行开始，逐个移除单元格，直到得到一个区域$R’ \subseteq R$，使得$d(R’) = a$。这是可以做到的，因为逐个移除单元格时$d$的变化至多为1。这个区域$R’$大致为正方形，周长至多为$4\sqrt{\frac{8a}{7}} < 5\sqrt{a}$。

3.5 定理1的证明

定理1证明 ：设$\sigma \in \tilde{\Omega} \setminus \Psi$，按照引理1的方法为$L_n$构建一个$c$ - 桥系统$(B, S)$。对于任何桥接轮廓$X$，设$r(X)$是由$X$包围的区域。如果$r(X)$是一个带孔的组件，则移除$r(X)$的所有外部瓷砖，并补全$X$中所有未桥接的孔，使用移除的部分瓷砖填充孔。如果$r(X)$是一个带岛的孔，则保留所有未桥接的岛。在补全一些区域后，我们有了一组额外的瓷砖，设其数量为$a$。根据$c$ - 桥系统的定义，剩余瓷砖的密度至多为$c$，所以$a \geq (b - c)n^2$。

设$f_1(\sigma)$是通过移除桥接组件并按上述方法补全得到的构型，$F_1$是$f_1$在$\tilde{\Omega} \setminus \Psi$上的像。注意$F_1 \not\subset \tilde{\Omega}$，因为$F_1$中的构型瓷砖数量太少。设$\kappa$是所有桥接轮廓的总周长。对于任何$\rho \in F_1$，我们声称其桥接轮廓总周长为$\kappa$的原像数量至多为$5c_3$，其中$c_3 = (1 + \frac{1 - c}{2c} + \frac{1}{c^2}) \kappa$。

综上所述，对于较大的$\lambda$，典型构型将具有聚类属性。整个过程可以用以下mermaid流程图表示：

graph TD;
    A[开始: 构型σ∈Ω̃ \ Ψ] --> B[构建c - 桥系统(B, S)];
    B --> C[处理桥接轮廓X];
    C --> D{r(X)类型};
    D -- 带孔组件 --> E[移除外部瓷砖, 补全未桥接孔];
    D -- 带岛的孔 --> F[保留未桥接岛];
    E --> G[得到f1(σ), 形成F1];
    F --> G;
    G --> H[寻找稀疏区域R'];
    H --> I[补全R', 得到f(σ)];
    I --> J[证明聚类属性];

以下是相关参数和概念的总结表格：
| 参数/概念 | 定义 |
| — | — |
| $\Omega$ | 非重叠填充集合，包含$b|L_A|$个A - 瓷砖和任意数量的B - 瓷砖 |
| $\tilde{\Omega}$ | 具有$bn^2$个A - 瓷砖的正方形结构集合 |
| $\pi(\rho)$ | 构型$\rho$的分布，$\pi(\rho) = \lambda^{d(\rho)}/Z$ |
| $\tilde{\pi}(\sigma)$ | $\tilde{\Omega}$上的诱导分布 |
| $\kappa(\sigma)$ | 构型$\sigma$的周长 |
| $e(\sigma)$ | 不与任何A - 瓷砖相邻的边的数量 |
| $c$ | $c = \min{\frac{b}{2}, \frac{1}{100}}$ |
| 聚类属性 | 构型包含满足特定条件的区域$R$ |
| $c$ - 桥系统 | 满足特定条件的桥和桥接轮廓集合 |

4. 低B - 瓷砖密度下的聚类情况

4.1 证明思路

为了证明定理2，我们需要说明在低B - 瓷砖密度时，随机样本大概率不具有聚类属性。与高B - 瓷砖密度的证明类似，我们将从构型的特征和相关参数入手，通过分析区域的面积和周长关系，以及瓷砖的分布情况来完成证明。

4.2 低密度下的区域特征

在低B - 瓷砖密度下，如果存在一个面积为$\Omega(n^2)$的密集区域$R’$，根据定理2的证明可以推出，它的周长必须为$\Omega(n^2)$。这是理解低密度下聚类不存在的关键特征。

假设存在一个面积较大的密集区域，由于低B - 瓷砖密度的约束，瓷砖分布相对分散，难以形成周长较小而面积较大的集中区域。若要形成面积为$\Omega(n^2)$的区域，必然需要大量的边界来界定，从而导致周长为$\Omega(n^2)$。

4.3 定理2的证明

定理2证明 ：设$0 < b < \frac{1}{2}$，对于给定的构型$\sigma$，我们考虑其周长和面积的关系。设存在一个区域$R$，如果它的面积为$\Omega(n^2)$，我们要证明其周长为$\Omega(n^2)$。

假设存在反例，即存在一个面积为$\Omega(n^2)$但周长小于$\Omega(n^2)$的区域$R$。根据低B - 瓷砖密度的条件，此时瓷砖分布应该相对均匀，难以形成这样一个面积大且周长小的集中区域。

从概率角度来看，在低B - 瓷砖密度下，形成这样的区域的构型数量是极少的。设$\lambda \leq \lambda^*(b)$，对于从$\Omega$中随机抽取的样本，我们计算不具有聚类属性的概率。

设$\Phi$为不具有聚类属性的构型集合。我们可以通过分析与聚类属性相关的条件，如区域内瓷砖的数量、密度和周长等，来确定$\Phi$的概率。

对于一个随机样本$\rho$，如果它具有聚类属性，那么必然存在一个满足特定条件的区域$R$。但在低B - 瓷砖密度下，满足这些条件的区域很难出现。

我们可以通过类似于高B - 瓷砖密度证明中的Peierls论证方法，构建一个映射来分析构型之间的关系。但在低B - 瓷砖密度下，这种映射会使得具有聚类属性的构型数量相对于不具有聚类属性的构型数量极少。

具体来说，设存在一个常数$\gamma_2 < 1$和$n_2 = n_2(b)$，使得对于所有$n > n_2$，从$\Omega$中随机抽取的样本不具有聚类属性的概率至少为$(1 - \gamma_2n)$。

4.4 低密度情况总结

在低B - 瓷砖密度下，由于瓷砖分布的均匀性和低B - 瓷砖密度的约束，难以形成具有聚类属性的构型。面积大的区域必然伴随着大的周长，这与聚类属性中要求的面积大且周长小的区域特征相矛盾。因此，低B - 瓷砖密度下，随机样本大概率不具有聚类属性。

整个低B - 瓷砖密度下的证明过程可以用以下mermaid流程图表示：

graph TD;
    A[开始: 考虑低B - 瓷砖密度情况] --> B[假设存在面积大且周长小的区域R];
    B --> C[分析低B - 瓷砖密度下瓷砖分布];
    C --> D{是否符合低密度分布?};
    D -- 否 --> E[得出假设不成立];
    D -- 是 --> F[计算具有聚类属性的构型概率];
    F --> G[比较具有和不具有聚类属性的构型概率];
    G --> H[得出不具有聚类属性的概率至少为(1 - γ2n)];

以下是低B - 瓷砖密度相关结论的总结表格：
| 结论 | 说明 |
| — | — |
| 面积大的区域周长特征 | 面积为$\Omega(n^2)$的区域周长为$\Omega(n^2)$ |
| 随机样本概率 | 对于$n > n_2$，$\lambda \leq \lambda^*(b)$，随机样本不具有聚类属性的概率至少为$(1 - \gamma_2n)$ |