36、随机游走转移概率的乘法近似研究

随机游走转移概率的乘法近似研究

在当今的数据处理领域，大规模图已成为表示现实世界数据的常用工具。许多现代应用，如搜索引擎和社交网络，都需要高效地支持对大规模图的各种查询。其中，计算图中两个节点之间的某种距离度量是一项重要操作，而随机游走最近成为了测量图中节点间距离的重要工具。

1. 研究背景与问题提出

大规模图在现代应用中广泛使用，随机游走在测量节点间距离方面非常重要，例如PageRank及其个性化版本就是基于随机游走的节点相关性度量。以往计算（个性化）PageRank向量的方法通常得到的是加性ϵ - 近似，而本文主要关注的是使用小空间和时间获得随机游走转移概率的非平凡乘法(1 ± ϵ) - 因子近似。

具体问题是：给定一个简单（可能有向）图$G = (V, E)$和可用空间的界限$S$，对于所有满足$P_{uv}^l \geq t$的节点对$u, v \in V$，找到最小的阈值$t$，使得$l$步转移概率$P_{uv}^l$能在(1 ± ϵ)因子内近似，以及能多快获得这样的近似。

2. 研究结果

2.1 有向图

• 空间复杂度结果 ：若图$G$的最小出度为$d$，当可用空间$S < o(n^2/d)$时，对于任何合理的阈值$t$，都无法实现(1 ± ϵ) - 因子近似；而当可用空间$S = \tilde{\Omega}(sn^2/d)$（$s > 1$）时，对于概率大于$t \geq \frac{1}{d}s^{-(\epsilon/4)(l - 1)}$的情况，可以实现(1 ± ϵ) - 因子近似。例如，任何正则图在$l \geq 40/\epsi