22、基变换与随机域分析

基变换与随机域分析

1. 基变换对马尔可夫随机场的影响

在研究马尔可夫随机场和稀疏模型时，基变换对这些模型的影响是一个重要的问题，尤其是分层基变换。

对于一个稀疏随机域 $Z$，满足 $[Z]: = z \sim P$ 且 $P^{-1}$ 是稀疏的。当通过基变换算子 $F$ 对该域进行操作时，变换后的域 $\bar{z} = Fz \sim \bar{P}$，其中 $\bar{P}^{-1} = (FPF^T)^{-1} = F^{-T}P^{-1}F^{-1}$。通常在基变换中指定的是 $F$ 而非 $F^{-1}$，所以 $F^{-1}$ 不太可能是稀疏的，这意味着 $\bar{P}^{-1}$ 很可能失去了 $P^{-1}$ 的稀疏性。

不过，这种稀疏性的损失不一定是灾难性的。因为变换后的系统可能不需要显式地写出，或者在基缩减的情况下，变换后的系统可能足够小，以至于不需要稀疏表示。例如，对于线性系统 $Az = b$（其中 $A$ 是稀疏的），经过基变换后变为 $S^TAS\bar{z} = S^Tb$，即 $\bar{A}\bar{z} = \bar{b}$（此时 $\bar{A}$ 是稠密的）。但我们不需要存储 $\bar{A}$，而是通过 $\bar{A}\bar{z} \equiv S^T[A(S\bar{z})]$ 来计算矩阵 - 向量积，这样只需要计算 $S^Tx$、$Ay$ 和 $Sz$ 这三个矩阵 - 向量积，就能保留 $A$ 的稀疏性带来的好处。

更有趣的一个具体问题是：给定一个马尔可夫随机场 $Z$，如果对其进行下采样或将其以较低分辨率表示，得到的场是否仍然是马尔可夫的？下面来看几种特殊情况：
- 零阶马