32、带容量车辆路径规划中的仓库选址

带容量车辆路径规划中的仓库选址

在带容量车辆路径规划（CVRP）问题中，仓库选址是一个关键环节。下面将详细介绍相关的算法和理论。

1. 仓库选址近似算法

已知 Flow(Sbi) ≤ Flow(Smed) 且 Tree(Sbi) ≤ Tree(Smst)，可得：
[
\frac{1}{2} \cdot Flow(S_{bi}) + \frac{1}{2} \cdot Tree(S_{bi}) \leq \frac{3 + \delta}{2} \cdot [Flow(S^ ) + Tree(S^ )] \leq (3 + \delta) \cdot Opt
]
使用相关定理可知，以 Sbi 为仓库的 CVRP 解决方案的成本至多为 (4(3 + \delta) \cdot Opt)。这就给出了一个 (12 + δ, 2) 双准则近似算法来解决 k - LocVRP 问题，其中 δ > 0 是任意固定常数。不过，这种方法对于 k - LocVRP 并没有给出真正的近似比率，为此引入了 k 中值森林算法。

2. k 中值森林问题

• 问题定义 ：k 中值森林问题的输入包括一个度量空间 (V, d)、顶点权重 ({q_u} {u \in V}) 和界限 k。目标是找到一个子集 (S \subseteq V)，且 (|S| = k)，使得以下函数最小化：
  [
  \Phi(S) = \sum {u \in V} q_u \cdot d(u, S) + d(MST(V/S))
  ]
  其中 (d(u