20、矩形着色与调度问题的算法研究

矩形着色与调度问题的算法研究

在计算机科学和运筹学领域，矩形着色和单机器调度问题是两个重要的研究方向。本文将深入探讨矩形着色算法以及一种用于解决单机器调度问题的原始 - 对偶近似算法。

矩形着色算法

矩形着色问题旨在为一组矩形合理分配颜色，使得相交的矩形具有不同的颜色。该算法的核心步骤如下：
1. 计算矩形值 ：首先，计算所有矩形 (R \in R) 的值 (v(R))，此值将在整个算法中使用。
2. 矩形分区 ：将矩形划分为 (\sqrt{q}) 个集合 ({S_i}_{i = 1}^{\sqrt{q}})，其中矩形 (R) 属于 (S_i) 当且仅当 ((i - 1)\sqrt{q} \leq v(R) < i\sqrt{q})。这样，同一集合内的任意两个矩形 (R) 和 (R’) 满足 (|v(R) - v(R’)| \leq \sqrt{q})。
3. 集合处理 ：对于每个 (i)（(1 \leq i \leq \sqrt{q})），执行以下操作：
- 定义 (T_i) 集合 ：定义 (T_i = {R \in S_i : \alpha_i(R) \geq 10\sqrt{q}})，其中 (\alpha_i(R)) 表示矩形 (R) 相对于集合 (S_i) 的 (\alpha) - 覆盖。
- 更新 (S_i’) 集合 ：令 (S_i’ = S_i \setminus T_i)。
- 着色操作 ：使用