5、博弈与稀疏恢复问题研究

博弈与稀疏恢复问题研究

1. 二人贝叶斯博弈相关定理

在二人贝叶斯博弈中，有如下重要定理：
- 定理 6.2 ：假设类型在空间 $\Theta_{row} \times \Theta_{col}$ 上均匀分布，且 $|\Theta_{row}| = |\Theta_{col}| = k$，$|S_{row}| = |S_{col}| = n$。若纯贝叶斯纳什均衡（BNE）存在，那么可以在时间 $n^{O((\log n + \log k)/\epsilon^2)}$ 内找到一个纯 $\epsilon$-BNE。
- 备注 6.3 ：定理 6.2 中的假设可放宽为存在纯 $(\epsilon/2)$-BNE 均衡（而非实际均衡）。
- 定理 6.4 ：对于任意 $\eta > 0$，在类型均匀分布且纯 BNE 存在的二人贝叶斯博弈中，寻找 $(1/4 - \eta)$-近似纯 BNE 的难度与寻找大小为 $C \log n$ 的隐藏团问题相当。

2. 稀疏恢复问题概述

近年来，一种新的“线性”方法被用于获取 $n$ 维向量（或信号）的简洁近似表示。对于任意信号 $x$，其表示为 $Ax$，其中 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，或者是从某种矩阵分布中选取的随机变量。向量 $Ax$ 常被称为 $x$ 的测量向量或线性草图。

稳定稀疏恢复是一个特别有用且研究较多的问题。若向量 $x’$ 最多有 $k$ 个非零坐标，则称其为 $k$-稀疏。稀疏恢复问题通常定义为：对于某些范数参数 $p$ 和 $q$ 以