27、Small Progress Measures for Solving Parity Games

Small Progress Measures for Solving Parity Games

1. 引言

奇偶博弈（Parity Games）是一种两人零和的无限持续时间博弈，通常用于模型检测和逻辑验证中。这类博弈的目标是在给定的状态空间中找到一个策略，使得一方能够在无限步内保证赢得博弈。小进步测量方法（Small Progress Measures, SPM）是解决这类博弈的一种有效算法。SPM通过追踪游戏进展，帮助确定获胜策略，从而在理论计算机科学中有着重要的应用，特别是在验证系统属性和解决复杂的自动机问题方面。

2. 奇偶博弈的基本概念

奇偶博弈的形式化定义如下：

• 博弈图 ：博弈图 ( G = (V, E, \Omega) )，其中 ( V ) 是状态集合，( E \subseteq V \times V ) 是转移关系，( \Omega: V \rightarrow \mathbb{N} ) 是优先级函数。
• 玩家 ：博弈中有两个玩家，分别是玩家 0 和玩家 1。每个状态 ( v \in V ) 属于其中一个玩家。
• 目标 ：玩家 0 的目标是使得在无限路径上，最小的奇数优先级出现无限次，而玩家 1 的目标相反。

2.1 状态和转移

博弈从初始状态开始，玩家轮流选择转移边，直到到达一个终止状态或无限循环。每个状态 ( v ) 有一个优先级 ( \Omega(v) )，优先级决定了胜利条件。

2.2