【HEOI2013】bzoj3168 钙铁锌硒维生素

最新推荐文章于 2025-09-05 10:57:46 发布

sdfzyhx

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分类专栏：图论数学 bzoj 省选真题文章标签：矩阵二分图

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sdfzyhx/article/details/61914762

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银河队的营养师小林为了确保队员在宇宙旅行期间获得适当的营养，使用两套厨师机器人来准备食物。本文介绍了一种算法，用于确定两套机器人之间的备份关系，以确保即使一套机器人出现故障，也能满足队员的营养需求。

Description

银河队选手名单出来了！小林，作为特聘的营养师，将负责银河队选手参加
宇宙比赛的饮食。众所周知，前往宇宙的某个星球，通常要花费好长好长的时间，人体情况在这之间会发生变化，因此，需要根据每天的情况搭配伙食，来保证营养。小林把人体需要的营养分成了n种，这些营养包括但不限于铁，钙。他准备了2套厨师机器人，一套厨师机器人有n个，每个厨师机器人只会做一道菜，这道菜一斤能提供第i种营养xi微克。想要吃这道菜的时候，只要输入一个数，就能吃到对应数量的这道菜了。为防止摄入过量对身体造成的伤害，每个机器人还有防过量摄入药，只要输入一个数，就能生成一定剂量的药，吃了这些药，就能减少相当于食用对应数目的这道菜提供的营养。
小林之所以准备2套厨师机器人，正是因为旅途漫漫，难以预计，也许某一个厨师机器人在途中坏掉，要是影响了银河队选手的身体，就不好了。因此，第2套厨师机器人被用来做第1套的备用。小林需要为每一个第1套厨师机器人选一个第2套厨师机器人作备份，使得当这个机器人坏掉时，用备份顶替，整套厨师机器人仍然能搭配出任何营养需求，而且，每个第2套厨师机器人只能当一个第1套厨师机器人的备份。
Input

第一行包含一个正整数n。接下来n行，每行n个整数，表示第
1套厨师机器人做的菜每一斤提供的每种营养。再接下来n行，每行n个整数，表示第2套厨师机器人做的菜每一斤提供的每种营养。 Output

第一行是一个字符串，如果无法完成任务，输出“NIE”，否则输
出“TAK”，并跟着n行，第i行表示第i个第1套机器人的备份是哪一个第2套机器人。为了避免麻烦，如果有多种可能的答案，请给出字典序最小的那一组。

对于每一个 $b_i$ 求出他能替换哪些向量 $a_j$ ，然后就变成了字典序最小的二分图完备匹配问题。
把向量 $a$ 组成矩阵 $A$ ，然后求 $xA=b_i$ ，也就是 $b_i=x_1a_1+x_2a_2+\cdots +x_na_n$ 。如果 $x_j$ 不为零， $b_i$ 可以替换 $a_j$ 。把 $b$ 拼成矩阵 $B$ ，求出 $C=B*A^{-1}$ 就是二分图的邻接矩阵。
在二分图上先求出一个完备匹配，然后从小到大考虑每个位置连的边，选择一条最小的而且不会影响之前的匹配的路径进行更换。
原题数据貌似不保证矩阵可逆，需要判断。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const int p=100000007;
int n,f[310],vis[310],ans[310],ok=1;
int pow(int base,int x)
{
    int ret=1;
    while (x)
    {
        if (x&1) ret=(LL)ret*base%p;
        base=(LL)base*base%p;
        x>>=1;
    }
    return ret;
}
struct mat
{
    int a[310][310];
    void rd()
    {
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
    }
    mat operator * (const mat &m) const
    {
        mat ret;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
            {
                ret.a[i][j]=0;
                for (int k=1;k<=n;k++)
                    ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+(LL)a[i][k]*m.a[k][j]%p)%p;
            }
        return ret;
    }
    mat inv()
    {
        mat ret;
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
                ret.a[i][j]=(i==j);
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            int x;
            x=-1;
            for (int j=i;j<=n;j++)
                if (a[j][i])
                {
                    x=j;
                    break;
                }
            if (x==-1)
            {
                ok=0;
                return ret;
            }
            if (x!=i)
                for (int j=1;j<=n;j++)
                {
                    swap(a[i][j],a[x][j]);
                    swap(ret.a[i][j],ret.a[x][j]);
                }
            x=pow(a[i][i],p-2);
            for (int j=1;j<=n;j++)
            {
                a[i][j]=(LL)a[i][j]*x%p;
                ret.a[i][j]=(LL)ret.a[i][j]*x%p;
            }
            for (int j=1;j<=n;j++)
                if (j!=i)
                {
                    x=a[j][i];
                    for (int k=1;k<=n;k++)
                    {
                        a[j][k]=(a[j][k]-(LL)a[i][k]*x%p+p)%p;
                        ret.a[j][k]=(ret.a[j][k]-(LL)ret.a[i][k]*x%p+p)%p;
                    }
                }
        }
        return ret;
    }
}a,b,c;
int dfs1(int u)
{
    for (int v=1;v<=n;v++)
        if (c.a[v][u]&&!vis[v])
        {
            vis[v]=1;
            if (!f[v]||dfs1(f[v]))
            {
                f[v]=u;
                return 1;
            }
        }
    return 0;
}
int dfs2(int u,int from)
{
    for (int v=1;v<=n;v++)
        if (c.a[v][u]&&!vis[v])
        {
            vis[v]=1;
            if (f[v]==from||(f[v]>from&&dfs2(f[v],from)))
            {
                f[v]=u;
                return 1;
            }
        }
    return 0;
}
int main()
{
    int cnt=0;
    scanf("%d",&n);
    a.rd();
    b.rd();
    c=b*a.inv();
    if (!ok)
    {
        printf("NIE\n");
        return 0;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=1;j<=n;j++) vis[j]=0;
        if (dfs1(i)) cnt++;
    }
    if (cnt<n) printf("NIE\n");
    else
    {
        printf("TAK\n");
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            for (int j=1;j<=n;j++) vis[j]=0;
            dfs2(i,i);
        }
        for (int i=1;i<=n;i++) ans[f[i]]=i;
        for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]);
    }
}