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最新推荐文章于 2024-08-17 23:36:42 发布

sdfzyhx

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分类专栏：数学 UVa 文章标签：高斯消元

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sdfzyhx/article/details/54379825

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本文介绍了一种算法，该算法通过使用高斯消元法解决了一个特定问题：给定一组整数，如何选择使得每个质因数的出现次数为偶数的问题。通过将问题转化为异或方程组，并利用线性代数的方法求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Given n integers you can generate 2 n

用 $n$ 个未知数 $x_i$ 表示每个数选或者不选，然后要求每个质因数最后被选的次数都是偶数次。在模 $2$ 意义下相加等价于异或，可以根据每个数含有的质因数列出 $m$ 个异或方程， $m$ 是涉及到的质因数总数。高斯消元以后如果有 $t$ 个自由元，答案就是 $2^t-1$ 。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
const int maxp=500;
int prm[510],tot,n,m,a[110][110];
bool have[510];
void init()
{
    int i,j;
    for (i=2;i<=maxp;i++)
    {
        if (!have[i]) prm[tot++]=i;
        for (j=0;j<tot&&prm[j]*i<=maxp;j++)
        {
            have[prm[j]*i]=1;
            if (i%prm[j]==0) break;
        }
    }
}
void build()
{
    int i,j;
    LL x;
    m=0;
    scanf("%d",&n);
    memset(a,0,sizeof(a));
    for (i=0;i<n;i++)
    {
        scanf("%lld",&x);
        for (j=0;j<tot&&x>1;j++)
          if (x%prm[j]==0)
          {
            m=max(m,j+1);
            while (x%prm[j]==0)
            {
                x/=prm[j];
                a[j][i]^=1;
            }
          }
    }
}
void solve()
{
    int i=0,j,k,r,x;
    for (j=0;j<n&&i<m;j++)
    {
        r=i;
        for (k=i;k<m;k++)
          if (a[k][j])
          {
            r=k;
            break;
          }
        if (r!=i) for (k=0;k<=n;k++) swap(a[r][k],a[i][k]);
        if (a[i][j])
        {
            for (k=i+1;k<m;k++)
              if (a[k][j])
                for (x=i;x<=n;x++)
                  a[k][x]^=a[i][x];
            i++;
        }
    }
    printf("%lld\n",(1LL<<n-i)-1);
}
int main()
{
    int T;
    init();
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        build();
        solve();
    }
}