【BZOJ2440】[中山市选2011]完全平方数

最新推荐文章于 2019-05-19 15:58:26 发布

sdfzchy

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分类专栏： --------------数论-------------- 数论-莫比乌斯反演

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数论-莫比乌斯反演

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本文介绍了一种利用二分法和容斥原理高效查找指定范围内无平方因子数的方法，并给出了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题解：
显然可以二分， $O(log n)$ 的代价二分答案，问题转换为 [1, x] 中有多少个无平方因子数
由容斥原理，[1, x] 中无平方因子数等于：
• 0 个质数乘积的平方的倍数个数
• - 1 个质数乘积的平方的倍数个数
• + 2 个质数乘积的平方的倍数的个数
• ……
枚举 $[1, sqrt(x)]$ 范围内的数，把 $μ(i) * x / i ^2$ 加入答案

//by sdfzchy
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf=(1<<30),N=100010;
int n,m;
inline int in()
{
    char ch=getchar();
    int f=1,tmp=0;
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') {tmp=(tmp<<1)+(tmp<<3)+(ch-'0');ch=getchar();}
    return tmp*f;
}

int miu[N],pri[N],pcnt;
bool ok[N];
void init()
{
    miu[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!ok[i]) pri[++pcnt]=i,miu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=pcnt&&(LL)i*pri[j]<=N;j++)
        {
            ok[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                miu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            miu[i*pri[j]]=-miu[i];
        }
    }
}

int calc(int x)
{
    int k=sqrt(x),ans=0;
    for(int i=1;i<=k;i++) ans+=miu[i]*x/(i*i);
    return ans;
}

void solve()
{
    int x=in(),l=1,r=2*x+1,ans=1;
    while(l<=r)
    {
        int mid=((LL)l+r)>>1;
        int cur=calc(mid);
        if(cur<x) l=mid+1;
        else r=mid-1,ans=mid;
    }
    printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
    init();
    int T=in();
    while(T--) solve();
    return 0;
}