题解：CF1453D Checkpoints

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#Codeforces #c++ #数学

提供一种直接基于期望推表达式的做法。

设 $p$ 表示走一步成功的概率， $E [x]$ 表示从一个存档点开始，还剩 $x$ 步的距离到达下一个存档点，所需的期望步数。若一次成功，共走 $x$ 步，概率为 $p^x$ ；若走到第 $i$ 步时失败，概率为 $p^{i-1}(1-p)$ ，之后需要重新开始，共走 $E [x]$ 步。因此有表达式：

$\times p^x + \sum \limits_{i = 1}^x p^{i - 1}(1-p)(i + E[x])$

直接将 $\frac{1}{2}$ 带入可知：

$(\frac{1}{2})^x + 2[1 - (x + 2)(\frac{1}{2})^{x + 1}] + [1 - (\frac{1}{2})^x]E[x]\\ (\frac{1}{2})^xE[x] = 2 - (\frac{1}{2})^{x - 1}\\ E[x] = 2^{x + 1} - 2$

因此直接构造 $100...\texttt{100...}$ 的形式，类似二进制拆分进行构造即可。由于 $E [x]$ 为偶数，所以奇数的情况显然无解。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair <int,int>
#define init(x) memset (x,0,sizeof (x))
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int MAX = 1e5 + 5;
const int MOD = 1e9 + 7;
inline ll read ();
void solve ()
{
    ll x = read ();
    if (x & 1) {puts ("-1");return;}
    vector <ll> f (61,0);
    for (int i = 0;i <= 60;++i) f[i] = (1ll << (i + 2)) - 2;
    vector <int> ans;
    for (int i = 60;~i;--i)
    {
        while (x >= f[i])
        {
            x -= f[i];
            ans.push_back (1);
            for (int j = 1;j <= i;++j) ans.push_back (0);
        }
    }
    assert ((int)ans.size () <= 5000);
    printf ("%d\n",(int) ans.size ());
    for (auto v : ans) printf ("%d ",v);
    puts ("");
}
int main ()
{
    int t = read ();
    while (t--) solve ();
    return 0;
}
inline ll read ()
{
    ll s = 0;int f = 1;
    char ch = getchar ();
    while ((ch < '0' || ch > '9') && ch != EOF)
    {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar ();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
    {
        s = s * 10 + ch - '0';
        ch = getchar ();
    }
    return s * f;
}