题解：CF886E Maximum Element-优快云博客

正难则反，考虑长度为 $i$ 的排列得到正确的结果的方案数。

设 $dp_i$ 表示长度为 $i$ 的排列直到循环完也没有提前 return 的方案数。考虑 $i$ 所放置的位置，由于不会提前 return，也就说明该数字所在的位置为 $[i - k + 1, i]$ 的范围中。因此可以枚举 $i$ 的位置为 $j$ ，则相当于将 $[1, i]$ 的区间分为 $[1, j - 1], [j], [j + 1, i]$ 。

第一段为 $i - 1$ 个数字中选择 $j - 1$ 个，也就是 $(i−1j−1)\binom{i-1}{j-1}$ ，然后合法的方案数为 $dp_{j - 1}$ ；第二段放最大值 $i$ ，第三段还剩下 $i - j$ 个数字，随意放置，也就是 $(i - j)!$ 。虽然说 $dp_i$ 的状态考虑的是排列，但是显然我们只需要考虑数字之间的相对大小，因此第一段的方案数是合理的。可以得到以下转移：

$dpi=∑j=i−k+1i(i−1j−1)×dpj−1×(i−j)!dp_i=\sum_{j=i-k+1}^i \binom{i-1}{j-1}\times dp_{j-1}\times (i-j)!$

尝试进行化简，可以得到：

$dp_i = \sum_{j=i-k+1}^i \frac{(i - 1)!}{(j - 1)! \times ((i - 1) - (j - 1))!}\times dp_{j-1}\times (i-j)! \\ = \sum_{j=i-k+1}^i\frac{(i - 1)!}{(j - 1)!} \times dp_{j - 1} \\ = (i - 1)! \times \sum_{j=i-k}^{i - 1} \frac{dp_j}{j!}$

维护一段长度为 $k$ 的 $dpii!\frac{dp_i}{i!}$ 的和即可 $O (n)$ 求出 $dp_i$ 。

最后再考虑答案。若最后求得的答案是正确的，我们只需要枚举 $n$ 所在的位置即可。因此总共合法的方案数为：

$\sum_{i = 1}^n \binom {n - 1}{i - 1} \times dp_{i - 1} \times (n - i)!$

最后的答案就是 $n! - an s$ 。代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define init(x) memset (x,0,sizeof (x))
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define pii pair <int,int>
using namespace std;
const int MAX = 1e6 + 5;
const int MOD = 1e9 + 7;
inline int read ();
int n,k;ll tot,sum,dp[MAX],f[MAX],inv[MAX];
ll qpow (ll x,ll y)
{
    ll res = 1;
    while (y)
    {
        if (y & 1) res = res * x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}
int main ()
{
    n = read ();k = read ();
    inv[0] = f[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= n;++i) f[i] = f[i - 1] * i % MOD;
    inv[n] = qpow (f[n],MOD - 2);
    for (int i = n - 1;i;--i) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
    dp[0] = sum = 1;
    for (int i = 1;i <= n;++i)
    {   
        dp[i] = f[i - 1] * sum % MOD;
        sum = (sum + dp[i] * inv[i] % MOD) % MOD;
        if (i >= k) sum = (sum - dp[i - k] * inv[i - k] % MOD + MOD) % MOD;
    }
    for (int i = 1;i <= n;++i) tot = (tot + dp[i - 1] * f[n - 1] % MOD * inv[i - 1] % MOD) % MOD;
    printf ("%lld\n",(f[n] - tot + MOD) % MOD);
    return 0;
}
inline int read ()
{
    int s = 0;int f = 1;
    char ch = getchar ();
    while ((ch < '0' || ch > '9') && ch != EOF)
    {
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar ();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
    {
        s = s * 10 + ch - '0';
        ch = getchar ();
    }
    return s * f;
}