题解：CF2039E Shohag Loves Inversions

题意： 初始时 $a=[0,1]$，每次更新将 $a$ 逆序对的数量 $k$ 插入其中，求最终长度为 $n$ 的序列的数量。

以下均设当前的序列逆序对的数量为 $k$。

首先需要通过观察得出一个性质，当序列第一次出现 $k>1$ 的时候，若将 $k$ 插在中间的位置，会使得 $k^{\prime }>k$，在末尾插入则 $k^{\prime }=k$。设 $f_i$ 表示长度为 $i$ 且当前第一次出现 $k>1$ 时，变为长度为 $n$ 的序列的数量。剩下还有 $n-i$ 次操作，可以将 $k$ 均插入末尾，或者在末尾插入若干个以后再将 $k$ 插入中间的 $i$ 个位置之一，因此可以得到以下转移：

$$f_i=i\times \sum _{j=0}^{n-i-1}{f}_{i+j+1}+1$$

现在我们讨论整一个序列均为 $k\le 1$ 的情况。显然 $k=0$ 时就只有 $\underset{n-1}{\underbrace{00\cdots 0}}1$ 这一种。而 $k=1$ 时应为 $\underset{x}{\underbrace{00\cdots 0}}010\underset{n-x-3}{\underbrace{11\cdots 1}}$，其中 $x\in [0,n-3]$，故有 $n-2$ 种。所以说，$k\le 1$ 时，共有 $n-1$ 种。

最后考虑 $k\le 1$ 转移至 $k>1$ 的情况，显然只有 $k=1$ 时才有可能。因此对于 $\underset{x}{\underbrace{00\cdots 0}}010\underset{n-x-3}{\underbrace{11\cdots 1}}$ 类型的串，我们需要找到第一个 $1$ 所出现的位置。不难发现第一次出现 $k>1$ 的序列时至少由长度为 $3$ 的 $010$ 转移而来，共会产生 $2$ 个长度为 $4$ 且 $k>1$ 的串 $1010,0110$。一般化的，若在长度为 $i$ 时第一次出现 $k>1$，则这个长度为 $i$ 的串共会有 $\sum _{j=2}^{i-1}=\frac{i(i-3)}{2}$ 种情况。举个例子，若 $i=5$，则可能由 $0010,0101$ 转移出 $5$ 种情况。

综上所述，最后的答案就是 $n-1+\sum _{i=4}^n\frac{i(i-3)}{2}{f}_i$。直接后缀和进行处理即可，时间复杂度 $O(n)$。

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参考代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define init(x) memset (x,0,sizeof (x))
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int MAX = 1e6 + 5;
const int MOD = 998244353;
const ll inv_2 = 499122177;
inline int read ();
int t,n;ll sum,ans,dp[MAX]; 

int main ()
{
	//freopen (".in","r",stdin);
	//freopen (".out","w",stdout);
	t = read ();
	while (t--)
	{
		n = read ();
		sum = ans = 0;
		for (int i = n;i >= 4;--i)
		{
			dp[i] = (i * sum % MOD + 1) % MOD;
			sum = (sum + dp[i]) % MOD;
			ans = ans + 1ll * i * (i - 3) % MOD * inv_2 % MOD * dp[i] % MOD;
		}
		ans = (ans + n - 1) % MOD;
		printf ("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}
inline int read ()
{
    int s = 0;int f = 1;
    char ch = getchar ();
    while ((ch < '0' || ch > '9') && ch != EOF)
	{
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar ();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
	{
        s = s * 10 + ch - '0';
        ch = getchar ();
    }
    return s * f;
}