题解：CF2039E Shohag Loves Inversions

题意： 初始时 $a=[0,1]$，每次更新将 $a$ 逆序对的数量 $k$ 插入其中，求最终长度为 $n$ 的序列的数量。

以下均设当前的序列逆序对的数量为 $k$。

首先需要通过观察得出一个性质，当序列第一次出现 $k>1$ 的时候，若将 $k$ 插在中间的位置，会使得 $k^{\prime }>k$，在末尾插入则 $k^{\prime }=k$。设 $f_i$ 表示长度为 $i$ 且当前第一次出现 $k>1$ 时，变为长度为 $n$ 的序列的数量。剩下还有 $n-i$ 次操作，可以将 $k$ 均插入末尾，或者在末尾插入若干个以后再将 $k$ 插入中间的 $i$ 个位置之一，因此可以得到以下转移：

$$f_i=i\times \sum _{j=0}^{n-i-1}{f}_{}$$