你真的懂 Floyd 吗

• Floyd 求最短路，时间复杂度 $O(n^3)$，空间复杂度 $O(n^2)$。

for (int k = 1;k <= n;++k)
	for (int i = 1;i <= n;++i)
		for (int j = 1;j <= n;++j) dis[i][j] = min (dis[i][j],dis[i][k] + dis[k][j]);

• 【Q1】该算法的正确性？

算法基于动态规划。设 $f_{k,i,j}$ 表示只能借助于 $1,2,\cdots ,k$ 点时，$i\to j$ 的最短路径。那么根据是否经过 $k$ 点，可以列出状态转移方程：

$$f_{k,i,j}=\min (f_{k-1,i,j},f_{k-1,i,k}+f_{k-1,k,j})$$

很好理解，后者相当于以 $k$ 作为中转站，即 $i\to k\to j$ 的转移。那么当处理询问 $u,v$ 时， f n , u , v f_{n,u,v}