数学证明精选-优快云博客

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本文通过详细的步骤证明了多个数学命题和定理，包括群论的基本性质、二次剩余的概念及应用等。涉及封闭性、结合律、群同态和二次剩余等核心概念。

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1. 证明命题11.2。

证明： $\forall$ a,b $\in$ $\mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}$ , a⋅ b $\in$ $\mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}$ ，满足封闭性。

$\forall$ a,b,c $\in$ $\mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}$ , $a\equiv {x_{1}}^{2} mod$ p , $b\equiv {x_{2}}^{2} mod$ p, $c\equiv {x_{3}}^{2}mod$ p

有(a⋅b)⋅c≡ $({x_{1}}^{2}\cdot {x_{2}}^{2})\cdot {x_{3}}^{2}mod$ p = ${x_{1}}^{2}\cdot ({x_{2}}^{2}\cdot {x_{3}}^{2})mod$ p≡ a⋅(b⋅c) 满足结合律

有单位元 1，由费尔马小定理 $a^{p-1}\equiv 1 mod$ p

要使 $a\cdot a^{-1}\equiv 1mod$ p 存在逆元 $a^{-1}=a^ {p-2}\in \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}$

2. 使用群论的方法证明定理11.1。

设 p 为奇素数，则刚好存在 (p − 1)/2 个模 p 的 QR 和 (p − 1)/2 个模 p 的 QNR。

证明：定义从 ${z_{p}}^{*}\rightarrow \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p}$ 的映射 $\Psi$ ， $\forall a\in{\mathbb{Z}_{p}}^{*},a\rightarrow a^{2},$
有 $\Psi (ab)=(ab)^{2}=a^{2}\cdot b^{2}=\Psi (a)\cdot \Psi (b)$ ,为一种群同态
$Ker\psi =1,p-1=\mathbb{K},$ 是 ${\mathbb{Z}_{p}}^{*}$ 的正规子群，存在标准同态 $\phi:{\mathbb{Z}_{p}}^{*}\rightarrow {\mathbb{Z}_{p}}^{*}/\mathbb{K}$
由第一同构定理，存在唯一同构映射 $\eta :{\mathbb{Z}_{p}}^{*}\rightarrow {\mathbb{Z}_{p}}^{*}/\mathbb{K}$
$\therefore\left | \mathbb{Q}\mathbb{R}_{p} \right |=\left | {\mathbb{Z}_{p}}^{*} /\mathbb{K}\right |=(p-1)/2$ $\left | \mathbb{Q}\mathbb{N}\mathbb{R}_{p} \right |=(p-1)/2$

3. 定义映射 ψ : ${z_{p}}^{*}$ → {±1} 为 ψ(a) = ( $\frac{a}{p}$ ) ，∀a ∈ ${z_{p}}^{*}$ 。请证明这是一个满同态。

证明： $\Psi \left (a\cdot b \right )=\left ( \frac{a}{p} \right )\cdot \left ( \frac{b}{p} \right )=\Psi (a)\circ \Psi (b)$ , $\psi$ 是一个同态。

$a\in \mathbb{Q}\mathbb{R}_{\mathbb{P}}$ , $\psi (a)=1$ .

$a\in \mathbb{Q}\mathbb{N}\mathbb{R},\psi (a)=-1$ $\psi$ 是一个满同态。

4. 设 p 是奇素数，请证明 ${z_{p}}^{*}$ 的所有生成元都是模 p 的二次非剩余。

证明：

5. 证明命题11.4。

证明：1.当 $a\in \mathbb{Q}\mathbb{R},\left ( \frac{a}{p} \right )=1,a\equiv x^{2}\equiv b (mod p),\therefore\left ( \frac{b}{p} \right )=\left ( \frac{a}{p} \right )=1$
当 $a\in \mathbb{Q}\mathbb{N}\mathbb{R},\left ( \frac{a}{p} \right )=-1,a\equiv x^{2}\equiv b\left ( modp \right )$ 无解， $\therefore\left ( \frac{b}{p} \right )=\left ( \frac{a}{p} \right )=-1$
$a,b\in \mathbb{Z}$ 且不被p整除，所以有如果 $a\equiv b(mod p),$ 则 $\left ( \frac{a}{p} \right )=\left ( \frac{b}{p} \right )$

2.当 $a,b\in\mathbb{Q}\mathbb{R},ab\in\mathbb{Q}\mathbb{R},\left ( \frac{a}{p} \right )\left ( \frac{b}{p} \right )=1*1=1=\left ( \frac{ab}{p} \right )$

当 $a,b\in\mathbb{Q}\mathbb{N}\mathbb{R},ab\in\mathbb{Q}\mathbb{R},\left ( \frac{a}{p} \right )\left ( \frac{b}{p} \right )=(-1)*(-1)=1=\left ( \frac{ab}{p} \right )$

当 a,b一个为 $\mathbb{Q}\mathbb{R}$ ，一个为 $\mathbb{Q}\mathbb{N}\mathbb{R}$ ，ab为 $\mathbb{Q}\mathbb{N}\mathbb{R}$ ， $\left ( \frac{a}{p} \right )\left ( \frac{b}{p} \right )=1*(-1)=-1=\left ( \frac{ab}{p} \right )$

3.必有 $a^{2}\equiv x^{2}(mod p)$ ， $a^{2}\in\mathbb{Q}\mathbb{R},\therefore\left ( \frac{a^{2}}{p} \right )=1$

6. 给出推论11.1的完整证明。

证明：当 $p\equiv 1(mod4),$ 存在 $k\in\mathbb{Z},$ 使p=4k+1,根据欧拉准则有
$\left ( \frac{-1}{p} \right )\equiv (-1)^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{(4k+1-1)/2}\equiv 1(mod p)=1$

当 $p\equiv -1(mod4),$ 存在 $k\in\mathbb{Z},$ 使p=4k+3,根据欧拉准则有
$\left ( \frac{-1}{p} \right )\equiv (-1)^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{(4k+3-1)/2}\equiv (-1)(mod p)=-1$