bzoj2281 黑白棋

黑白棋

题目背景：

bzoj2281

分析：DP + 博弈论 + 组合数

再也不敢说本喵知道博弈论了，承认吧，博弈论难起来谁都别想做，不记结论就等着GG吧······

直接讲题，显然如果白棋往左或者黑棋往右是没有意义的，因为对方可以通过相同的走法来应对，那么现在我们大概就可以把题目改改了，有k堆石子，每一次可以从任意1 ~ d堆中取走任意数量的石子，不能操作者失败，如果这里的1 ~ d改成1，这个题就是最常规的nim游戏了，但是这里有了这么一个东西，事情就变得有点复杂了，看网上大牛称之为nimk游戏，和nim游戏相似，它也有对应的结论。

将每一堆石子的数量用二进制表示，若表示出的数字每一位上有一的数量mod (d + 1)均为0，那么先手必败，否则必胜。

证明请看这一篇，写的很好http://blog.youkuaiyun.com/weixinding/article/details/7321139，然后这个时候我们就该考虑如何求出必败的情况数了，我们定义f[i][j]表示，枚举到第i位，前i位的和为j的不合法的方案数为多少，每次加上(d + 1)的倍数 * (1 << i)即可进行转移，但是注意j不能超过n - 2 * k, 每一位上1的个数不能超过k。

Source：

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const int MAXN = 10000 + 10;
const int MAXK = 100 + 10;
const int MAXX = 15;
const int mod = 1000000000 + 7;

int n, k, d;
int c[MAXN][MAXK], f[MAXX][MAXN];

inline int add(int &x, int t) {
	x += t, (x >= mod) ? (x -= mod) : 0;
}

inline void pre_work() {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) c[i][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= k; ++i) c[i][i] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j < i && j <= k; ++j)
			c[i][j] = (c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j]) % mod;
}

inline int C(int n, int m) {
	return (n - m < m) ? c[n][n - m] : c[n][m];
}

inline void solve() {
	scanf("%d%d%d", &n, &k, &d), pre_work(), k >>= 1;
	f[0][0] = 1;
	for (int i = 0; i < 14; ++i)
		for (int j = 0; j <= n - 2 * k; ++j)
			for (int c = 0; c * (d + 1) <= k && j + c * (d + 1) * (1 << i)
				<= n - 2 * k; ++c)
					add(f[i + 1][j + c * (d + 1) * (1 << i)], 
						(long long)f[i][j] * C(k, c * (d + 1)) % mod);
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= n - 2 * k; ++i) 
		add(ans, (long long)f[14][i] * (long long)C(n - i - k, k) % mod);
	printf("%d", (C(n, 2 * k) - ans + mod) % mod);
}

int main() {
	solve();
	return 0;
}